Esboce o gráfico das equações:

Passo 1

No enunciado, precisamos esboçar o gráfico da equação vetorial . Vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores para entender como essa função se comporta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da função para cada eixo:
  • Eixo x:
  • Eixo y:
  • Eixo z:
Isso nos mostra que, para cada valor de , temos uma posição específica no espaço.

Passo 3

Vamos analisar as componentes x e y juntas:
Isso significa que no plano xy, a trajetória forma um círculo de raio 2, já que .

Passo 4

A componente z = t indica que, conforme aumenta, a curva se move para cima no eixo z de forma linear. Isso implica que, enquanto a projeção no plano xy é um círculo, no espaço tridimensional a curva está girando esse círculo enquanto sobe.

Passo 5

Combinando essas observações, percebemos que a curva descrita é uma hélice circular. Ela consiste em um círculo de raio 2 que, ao mesmo tempo, se eleva linearmente ao longo do eixo z à medida que aumenta.

Resposta

O gráfico da equação é uma hélice circular de raio 2 que se eleva linearmente no eixo z à medida que aumenta.

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Considere
Determine
Calcule, usando o método que você achar conveniente: ;