Considere 3 urnas. A urna
contém 2 bolas brancas e 4 bolas vermelhas; a urna
contém 8 bolas brancas e 4 bolas vermelhas; e a urna
contém 1 bola branca e 3 bolas vermelhas. Uma bola é escolhida aleatoriamente de cada urna. Qual a probabilidade de que bola escolhida da urna
seja branca dado que a amostra retirada possui exatamente 2 bolas brancas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema de probabilidade envolvendo três urnas diferentes. A urna A tem 2 bolas brancas e 4 vermelhas, a urna B tem 8 brancas e 4 vermelhas, e a urna C tem 1 branca e 3 vermelhas. A gente vai tirar uma bola de cada urna e quer saber qual a probabilidade de que a bola da urna A seja branca, dado que exatamente 2 das 3 bolas retiradas são brancas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade condicional e combinações de eventos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “probabilidade condicional”. É a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro evento já ocorreu. Aqui, queremos saber a probabilidade de a bola da urna A ser branca dado que exatamente 2 das 3 bolas são brancas.
Passo 3
Vamos identificar todas as possíveis combinações em que exatamente 2 bolas são brancas. Como estamos tirando uma de cada urna, as combinações possíveis são:
- Urna A branca, Urna B branca, Urna C vermelha
- Urna A branca, Urna B vermelha, Urna C branca
- Urna A vermelha, Urna B branca, Urna C branca
A gente precisa calcular a probabilidade de cada uma dessas combinações ocorrer.
Passo 4
Vamos calcular a probabilidade de cada combinação:
-
A branca, B branca, C vermelha:
-
A branca, B vermelha, C branca:
-
A vermelha, B branca, C branca:
Passo 5
Agora, vamos somar essas probabilidades para encontrar a probabilidade total de exatamente 2 bolas brancas:
Passo 6
A gente quer a probabilidade de que a bola da urna A seja branca dado que exatamente 2 bolas são brancas. Das três combinações, apenas duas têm a bola da urna A sendo branca:
- A branca, B branca, C vermelha com probabilidade
- A branca, B vermelha, C branca com probabilidade
Então, a probabilidade conjunta dessas duas situações é:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula da probabilidade condicional:
Resposta
A probabilidade de que a bola escolhida da urna A seja branca, dado que exatamente 2 bolas são brancas, é
.
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Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Em caso de ser verdadeira dê uma prova. Em caso de ser falsa, dê um contraexemplo. Se
é independente de
e
é independente de
e
, então
é independente de
.