Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Em caso de ser verdadeira dê uma prova. Em caso de ser falsa, dê um contraexemplo. Se
é independente de
e
é independente de
e
, então
é independente de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação diz que se os eventos
e
são independentes,
e
também são independentes, e
e
não têm elementos em comum (ou seja,
), então
é independente de
. Nosso objetivo é verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Vamos precisar dos conceitos de independência de eventos e probabilidade de união de eventos para resolver esse exercício.
Passo 2
Vamos relembrar o que significa independência de eventos. Dois eventos
e
são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade de ocorrência do outro. Matematicamente, isso é representado por:
Também, como
e
são eventos disjuntos (
), a probabilidade da união deles é:
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
é independente de
. De acordo com a definição de independência, precisamos verificar se:
Vamos calcular o lado esquerdo da equação,
.
Passo 4
Usando a propriedade distributiva da interseção sobre a união, temos:
Como
e
são disjuntos,
e
também são disjuntos. Portanto, a probabilidade da união desses eventos é a soma das probabilidades individuais:
Passo 5
Sabemos que
é independente de
e
, então podemos substituir:
Substituindo esses valores na equação anterior:
Passo 6
Lembrando que
e
são disjuntos:
Então, podemos reescrever a expressão da probabilidade conjunta:
Resposta
A afirmação é verdadeira. Mostramos que
, garantindo assim que
é independente de
.