Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Em caso de ser verdadeira dê uma prova. Em caso de ser falsa, dê um contraexemplo. Se é independente de e é independente de e , então é independente de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação diz que se os eventos e são independentes, e também são independentes, e e não têm elementos em comum (ou seja, ), então é independente de . Nosso objetivo é verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Vamos precisar dos conceitos de independência de eventos e probabilidade de união de eventos para resolver esse exercício.

Passo 2

Vamos relembrar o que significa independência de eventos. Dois eventos e são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade de ocorrência do outro. Matematicamente, isso é representado por:
Também, como e são eventos disjuntos ( ), a probabilidade da união deles é:

Passo 3

Agora, queremos mostrar que é independente de . De acordo com a definição de independência, precisamos verificar se:
Vamos calcular o lado esquerdo da equação, .

Passo 4

Usando a propriedade distributiva da interseção sobre a união, temos:
Como e são disjuntos, e também são disjuntos. Portanto, a probabilidade da união desses eventos é a soma das probabilidades individuais:

Passo 5

Sabemos que é independente de e , então podemos substituir:
Substituindo esses valores na equação anterior:

Passo 6

Lembrando que e são disjuntos:
Então, podemos reescrever a expressão da probabilidade conjunta:

Resposta

A afirmação é verdadeira. Mostramos que , garantindo assim que é independente de .

Exercícios relacionados

Três cartas são retiradas aleatoriamente, sem reposição, de um baralho de 52 cartas. Calcule a probabilidade condicional de que a primeira carta retirada seja de espada dado que a segunda e a terceira também o são?
Considere 3 urnas. A urna contém 2 bolas brancas e 4 bolas vermelhas; a urna contém 8 bolas brancas e 4 bolas vermelhas; e a urna contém 1 bola branca e 3 bolas vermelhas. Uma bola é escolhida aleatoriamente de cada urna. Qual a probabilidade de que bola escolhida da urna seja branca dado que a amostra retirada possui exatamente 2 bolas brancas?
João tem duas moedas idênticas, a não ser pelo fato de terem probabilidades diferentes de sair cara. Uma delas é honesta, ou seja, tem probabilidade de sair cara. A outra é desonesta, e tem probabilidade de sair cara. Uma moeda é escolhida ao acaso e lançada resultando em cara. Qual a probabilidade de ter sido a moeda honesta?
Sejam e três eventos independentes. Mostre que e são independentes.