Três cartas são retiradas aleatoriamente, sem reposição, de um baralho de 52 cartas. Calcule a probabilidade condicional de que a primeira carta retirada seja de espada dado que a segunda e a terceira também o são?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um baralho de 52 cartas e tira três cartas sem voltar nenhuma. Queremos calcular a probabilidade condicional de que a primeira carta seja de espada, sabendo que a segunda e a terceira também são de espada. Isso envolve o conceito de probabilidade condicional e combinatória que vamos precisar para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade condicional de um evento dado um evento é dada por:
No nosso caso, é “a primeira carta é de espada” e é “a segunda e a terceira cartas são de espada”. Então precisamos calcular e .

Passo 3

Vamos calcular , que é a probabilidade de que todas as três cartas sejam de espada.
No baralho, temos 13 espadas. Então:
  • A probabilidade da primeira carta ser de espada é .
  • Como uma espada já foi tirada, a probabilidade da segunda carta ser de espada é .
  • E, por fim, a probabilidade da terceira carta ser de espada é .
Multiplicando essas probabilidades:

Passo 4

Agora, vamos calcular , que é a probabilidade de que a segunda e a terceira cartas sejam de espada, independentemente da primeira carta. Para isso, consideramos duas situações:
  1. A primeira carta é de espada.
  2. A primeira carta não é de espada.
Caso 1: A primeira carta é de espada:
  • Probabilidade:
  • Probabilidade da segunda e terceira serem de espada:
Caso 2: A primeira carta não é de espada:
  • Probabilidade: (já que tem 39 cartas que não são de espada)
  • Probabilidade da segunda e terceira serem de espada:
Então:

Passo 5

Agora, voltamos à fórmula da probabilidade condicional:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 6

Perceba que podemos fatorar termos comuns no numerador e no denominador. Observando que está presente em ambos, podemos simplificar.
Após simplificar, obtemos:

Resposta

A probabilidade condicional de que a primeira carta retirada seja de espada, dado que a segunda e a terceira também são de espada, é .

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