Três cartas são retiradas aleatoriamente, sem reposição, de um baralho de 52 cartas. Calcule a probabilidade condicional de que a primeira carta retirada seja de espada dado que a segunda e a terceira também o são?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um baralho de 52 cartas e tira três cartas sem voltar nenhuma. Queremos calcular a probabilidade condicional de que a primeira carta seja de espada, sabendo que a segunda e a terceira também são de espada. Isso envolve o conceito de probabilidade condicional e combinatória que vamos precisar para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade condicional de um evento dado um evento é dada por:
No nosso caso, é “a primeira carta é de espada” e é “a segunda e a terceira cartas são de espada”. Então precisamos calcular e .

Passo 3

Vamos calcular , que é a probabilidade de que todas as três cartas sejam de espada.
No baralho, temos 13 espadas. Então:
  • A probabilidade da primeira carta ser de espada é .
  • Como uma espada já foi tirada, a probabilidade da segunda carta ser de espada é .
  • E, por fim, a probabilidade da terceira carta ser de espada é .
Multiplicando essas probabilidades:

Passo 4

Agora, vamos calcular , que é a probabilidade de que a segunda e a terceira cartas sejam de espada, independentemente da primeira carta. Para isso, consideramos duas situações:
  1. A primeira carta é de espada.
  2. A primeira carta não é de espada.
Caso 1: A primeira carta é de espada:
  • Probabilidade:
  • Probabilidade da segunda e terceira serem de espada:
Caso 2: A primeira carta não é de espada:
  • Probabilidade: (já que tem 39 cartas que não são de espada)
  • Probabilidade da segunda e terceira serem de espada:
Então:

Passo 5

Agora, voltamos à fórmula da probabilidade condicional:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 6

Perceba que podemos fatorar termos comuns no numerador e no denominador. Observando que está presente em ambos, podemos simplificar.
Após simplificar, obtemos:

Resposta

A probabilidade condicional de que a primeira carta retirada seja de espada, dado que a segunda e a terceira também são de espada, é .

Exercícios relacionados

Considere 3 urnas. A urna contém 2 bolas brancas e 4 bolas vermelhas; a urna contém 8 bolas brancas e 4 bolas vermelhas; e a urna contém 1 bola branca e 3 bolas vermelhas. Uma bola é escolhida aleatoriamente de cada urna. Qual a probabilidade de que bola escolhida da urna seja branca dado que a amostra retirada possui exatamente 2 bolas brancas?
Dois dados são lançados. Qual a probabilidade condicional de ter saído 6 dado que os números das faces viradas para cima dos dados foram diferentes?
Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Em caso de ser verdadeira dê uma prova. Em caso de ser falsa, dê um contraexemplo. Se é independente de e é independente de e , então é independente de .
João tem duas moedas idênticas, a não ser pelo fato de terem probabilidades diferentes de sair cara. Uma delas é honesta, ou seja, tem probabilidade de sair cara. A outra é desonesta, e tem probabilidade de sair cara. Uma moeda é escolhida ao acaso e lançada resultando em cara. Qual a probabilidade de ter sido a moeda honesta?