Três cartas são retiradas aleatoriamente, sem reposição, de um baralho de 52 cartas. Calcule a probabilidade condicional de que a primeira carta retirada seja de espada dado que a segunda e a terceira também o são?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um baralho de 52 cartas e tira três cartas sem voltar nenhuma. Queremos calcular a probabilidade condicional de que a primeira carta seja de espada, sabendo que a segunda e a terceira também são de espada. Isso envolve o conceito de probabilidade condicional e combinatória que vamos precisar para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade condicional de um evento
dado um evento
é dada por:
No nosso caso,
é “a primeira carta é de espada” e
é “a segunda e a terceira cartas são de espada”. Então precisamos calcular
e
.
Passo 3
Vamos calcular
, que é a probabilidade de que todas as três cartas sejam de espada.
No baralho, temos 13 espadas. Então:
- A probabilidade da primeira carta ser de espada é
. - Como uma espada já foi tirada, a probabilidade da segunda carta ser de espada é
. - E, por fim, a probabilidade da terceira carta ser de espada é
.
Multiplicando essas probabilidades:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, que é a probabilidade de que a segunda e a terceira cartas sejam de espada, independentemente da primeira carta. Para isso, consideramos duas situações:
- A primeira carta é de espada.
- A primeira carta não é de espada.
Caso 1: A primeira carta é de espada:
- Probabilidade:
- Probabilidade da segunda e terceira serem de espada:
Caso 2: A primeira carta não é de espada:
- Probabilidade:
(já que tem 39 cartas que não são de espada) - Probabilidade da segunda e terceira serem de espada:
Então:
Passo 5
Agora, voltamos à fórmula da probabilidade condicional:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 6
Perceba que podemos fatorar termos comuns no numerador e no denominador. Observando que
está presente em ambos, podemos simplificar.
Após simplificar, obtemos:
Resposta
A probabilidade condicional de que a primeira carta retirada seja de espada, dado que a segunda e a terceira também são de espada, é
.