Considere um espaço vetorial real munido de um produto interno . Encontrar a distância entre e e o cosseno do ângulo entre eles, onde produto interno usual em , e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar duas coisas no espaço vetorial real com o produto interno usual:
  1. A distância entre os vetores e .
  2. O cosseno do ângulo entre esses dois vetores.
Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de produto interno e norma de vetores, além da fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância entre e . A distância entre dois vetores no espaço é dada pela norma da diferença deles. Ou seja:
A norma de um vetor no é calculada assim:
Então, precisamos primeiro encontrar .

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, vamos encontrar a norma desse vetor.

Passo 4

Calculando a norma de :
Então, a distância entre e é 3.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o cosseno do ângulo entre e . A fórmula para isso é:
Aqui, é o produto interno entre e , e e são as normas dos vetores e , respectivamente.
Vamos calcular cada parte dessa fórmula.

Passo 6

Primeiro, calculamos o produto interno . No espaço , o produto interno é dado por:
Substituindo os valores de e :

Passo 7

Agora, vamos calcular as normas de e .
Primeiro, a norma de :
Depois, a norma de :

Passo 8

Agora, substituímos esses valores na fórmula do cosseno:

Resposta

A distância entre e é 3 e o cosseno do ângulo entre eles é aproximadamente -0,2887.

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8a
.
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16a
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7a
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