Considere (V,+, cdot) um espaço vetorial real munido de um produto interno . Encontrar a distância entre u e v e o cosseno do ângulo entre eles, onde V doteq R^4, produto interno usual em R^4, u=(1,1,1,1) e v=(-1,0,1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar duas coisas no espaço vetorial real com o produto interno usual:
  1. A distância entre os vetores e .
  2. O cosseno do ângulo entre esses dois vetores.
Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de produto interno e norma de vetores, além da fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância entre dist(u, v) = |u - v| e |w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2 + w4^2 . A distância entre dois vetores no espaço é dada pela norma da diferença deles. Ou seja:
A norma de um vetor no é calculada assim:
Então, precisamos primeiro encontrar .

Passo 3

Vamos calcular u - v = (1 - (-1),; 1 - 0,; 1 - 1,; 1 - (-1)) = (2,; 1,; 0,; 2) :
Agora, vamos encontrar a norma desse vetor.

Passo 4

Calculando a norma de |u - v| = raiz2^2 + 1^2 + 0^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 0 + 4 = raiz9 = 3 :
Então, a distância entre e é 3.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o cosseno do ângulo entre cos(theta) = |u| cdot |v| e . A fórmula para isso é:
Aqui, é o produto interno entre e , e e são as normas dos vetores e , respectivamente.
Vamos calcular cada parte dessa fórmula.

Passo 6

Primeiro, calculamos o produto interno = u1v1 + u2v2 + u3v3 + u4v4 . No espaço = (1)(-1) + (1)(0) + (1)(1) + (1)(-1) = -1 + 0 + 1 -1 = -1 , o produto interno é dado por:
Substituindo os valores de e :

Passo 7

Agora, vamos calcular as normas de |u| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 + 1 = raiz4 = 2 e |v| = raiz(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 0 + 1 + 1 = raiz3 approx 1.732 .
Primeiro, a norma de :
Depois, a norma de :

Passo 8

Agora, substituímos esses valores na fórmula do cosseno:
cos(theta) = |u| cdot |v| = -12 cdot raiz3 = -12raiz3 = -raiz36 approx -0.2887

Resposta

A distância entre e é 3 e o cosseno do ângulo entre eles é aproximadamente -0,2887.

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