Considere
um espaço vetorial real munido de um produto interno
. Encontrar a distância entre
e
e o cosseno do ângulo entre eles, onde
produto interno usual em
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar duas coisas no espaço vetorial real
com o produto interno usual:
- A distância entre os vetores
e . - O cosseno do ângulo entre esses dois vetores.
Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de produto interno e norma de vetores, além da fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a distância entre
e
. A distância entre dois vetores no espaço
é dada pela norma da diferença deles. Ou seja:
A norma de um vetor
no
é calculada assim:
Então, precisamos primeiro encontrar
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, vamos encontrar a norma desse vetor.
Passo 4
Calculando a norma de
:
Então, a distância entre
e
é 3.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o cosseno do ângulo entre
e
. A fórmula para isso é:
Aqui,
é o produto interno entre
e
, e
e
são as normas dos vetores
e
, respectivamente.
Vamos calcular cada parte dessa fórmula.
Passo 6
Primeiro, calculamos o produto interno
. No espaço
, o produto interno é dado por:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 7
Agora, vamos calcular as normas de
e
.
Primeiro, a norma de
:
Depois, a norma de
:
Passo 8
Agora, substituímos esses valores na fórmula do cosseno:
Resposta
A distância entre
e
é 3 e o cosseno do ângulo entre eles é aproximadamente -0,2887.
Exercícios relacionados
Encontrar os autovalores e suas respectivas multiplicidades (algébrica e geométrica) e os autovetores do operador linear
nos seguintes casos:
8a
.
8a
Considere
subespaço vetorial de
. Verifique se cada uma das bases abaixos de
são ortonormais:
16a
16a
Sejam
e
bases dos espaços vetoriais
e
, respectivamente. Encontrar, em cada um dos itens abaixo,
tal que
seja a matriz:
7a
7a
Seja
uma curva parametrizada, com
para todo
. Prove que
é constante não zero se, somente se
é ortogonal a
para todo
.