Seja alpha: I R^3 uma curva parametrizada, com alpha^prime(t) neq 0 para todo t in I. Prove que |alpha(t)| é constante não zero se, somente se alpha(t) é ortogonal a alpha^prime(t) para todo t in I.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma curva no espaço tridimensional, representada por uma função alpha(t) que mapeia um intervalo I para R^3. A gente quer provar que o comprimento (ou norma) de alpha(t) é constante e diferente de zero se, e somente se, o vetor posição alpha(t) for sempre perpendicular ao seu vetor derivada alpha'(t). Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de derivadas de funções vetoriais, norma de vetores e produto escalar (que nos diz quando dois vetores são perpendiculares).

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar o que significa que a norma de alpha(t) é constante. A norma |alpha(t)| representa o comprimento do vetor alpha(t). Se esse comprimento não muda com o tempo t, então |alpha(t)| é uma constante.

Passo 3

Agora, para relacionar isso com a derivada alpha'(t), vamos calcular como a norma de alpha(t) muda em relação ao tempo. Sabemos que a derivada da norma ao quadrado de um vetor é dada por:
ddt |alpha(t)|^2 = 2 alpha(t) cdot alpha'(t)
Aqui, alpha(t) cdot alpha'(t) é o produto escalar entre alpha(t) e alpha'(t).

Passo 4

Se a norma |alpha(t)| é constante, então |alpha(t)|^2 também é constante, e sua derivada em relação a t é zero:
ddt |alpha(t)|^2 = 0
Usando a expressão que encontramos no passo anterior:
2 alpha(t) cdot alpha'(t) = 0
Dividindo ambos os lados por 2:
alpha(t) cdot alpha'(t) = 0
Isso mostra que alpha(t) é perpendicular a alpha'(t) se a norma de alpha(t) for constante.

Passo 5

Agora, vamos pensar no contrário. Se alpha(t) é sempre perpendicular a alpha'(t), então:
alpha(t) cdot alpha'(t) = 0
Usando a mesma expressão da derivada da norma ao quadrado:
ddt |alpha(t)|^2 = 2 alpha(t) cdot alpha'(t) = 0
Isso implica que a derivada de |alpha(t)|^2 é zero, ou seja, |alpha(t)|^2 é constante. Consequentemente, a norma |alpha(t)| também é constante.

Resposta

Então, demonstramos que |alpha(t)| é constante e não zero se, e somente se, o vetor posição alpha(t) é perpendicular ao seu vetor derivada alpha'(t) para todo t in I.

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