Seja uma curva parametrizada, com para todo . Prove que é constante não zero se, somente se é ortogonal a para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma curva no espaço tridimensional, representada por uma função que mapeia um intervalo para . A gente quer provar que o comprimento (ou norma) de é constante e diferente de zero se, e somente se, o vetor posição for sempre perpendicular ao seu vetor derivada . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de derivadas de funções vetoriais, norma de vetores e produto escalar (que nos diz quando dois vetores são perpendiculares).

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar o que significa que a norma de é constante. A norma representa o comprimento do vetor . Se esse comprimento não muda com o tempo , então é uma constante.

Passo 3

Agora, para relacionar isso com a derivada , vamos calcular como a norma de muda em relação ao tempo. Sabemos que a derivada da norma ao quadrado de um vetor é dada por:
Aqui, é o produto escalar entre e .

Passo 4

Se a norma é constante, então também é constante, e sua derivada em relação a é zero:
Usando a expressão que encontramos no passo anterior:
Dividindo ambos os lados por 2:
Isso mostra que é perpendicular a se a norma de for constante.

Passo 5

Agora, vamos pensar no contrário. Se é sempre perpendicular a , então:
Usando a mesma expressão da derivada da norma ao quadrado:
Isso implica que a derivada de é zero, ou seja, é constante. Consequentemente, a norma também é constante.

Resposta

Então, demonstramos que é constante e não zero se, e somente se, o vetor posição é perpendicular ao seu vetor derivada para todo .

Exercícios relacionados

Sejam e bases dos espaços vetoriais e , respectivamente. Encontrar, em cada um dos itens abaixo, tal que seja a matriz:
7a
Considere um espaço vetorial real munido de um produto interno . Encontrar a distância entre e e o cosseno do ângulo entre eles, onde produto interno usual em , e .
Determine para que os vetores sejam linearmente independentes. e .
Determine para que os vetores sejam linearmente independentes. e .