Seja
uma curva parametrizada, com
para todo
. Prove que
é constante não zero se, somente se
é ortogonal a
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma curva no espaço tridimensional, representada por uma função
que mapeia um intervalo
para
. A gente quer provar que o comprimento (ou norma) de
é constante e diferente de zero se, e somente se, o vetor posição
for sempre perpendicular ao seu vetor derivada
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de derivadas de funções vetoriais, norma de vetores e produto escalar (que nos diz quando dois vetores são perpendiculares).
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar o que significa que a norma de
é constante. A norma
representa o comprimento do vetor
. Se esse comprimento não muda com o tempo
, então
é uma constante.
Passo 3
Agora, para relacionar isso com a derivada
, vamos calcular como a norma de
muda em relação ao tempo. Sabemos que a derivada da norma ao quadrado de um vetor é dada por:
Aqui,
é o produto escalar entre
e
.
Passo 4
Se a norma
é constante, então
também é constante, e sua derivada em relação a
é zero:
Usando a expressão que encontramos no passo anterior:
Dividindo ambos os lados por 2:
Isso mostra que
é perpendicular a
se a norma de
for constante.
Passo 5
Agora, vamos pensar no contrário. Se
é sempre perpendicular a
, então:
Usando a mesma expressão da derivada da norma ao quadrado:
Isso implica que a derivada de
é zero, ou seja,
é constante. Consequentemente, a norma
também é constante.
Resposta
Então, demonstramos que
é constante e não zero se, e somente se, o vetor posição
é perpendicular ao seu vetor derivada
para todo
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
bases dos espaços vetoriais
e
, respectivamente. Encontrar, em cada um dos itens abaixo,
tal que
seja a matriz:
7a
7a
Considere
um espaço vetorial real munido de um produto interno
. Encontrar a distância entre
e
e o cosseno do ângulo entre eles, onde
produto interno usual em
,
e
.
Determine
para que os vetores
sejam linearmente independentes.
e
.
Determine
para que os vetores
sejam linearmente independentes.
e
.