Considere subespaço vetorial de . Verifique se cada uma das bases abaixos de são ortonormais:
16a

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o subespaço vetorial e uma base . Nosso objetivo aqui é verificar se essa base é ortonormal. Para isso, vamos precisar entender dois conceitos principais:
  1. Ortogonais: Os vetores da base são ortogonais entre si se o produto interno (ou produto escalar) entre quaisquer dois vetores diferentes for igual a zero.
  2. Normalizados: Cada vetor da base tem comprimento (ou norma) igual a 1.
Então, para confirmar se é uma base ortonormal, vamos primeiro verificar se os vetores são ortogonais entre si e depois se cada vetor tem norma igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores são ortogonais. Isso significa que o produto interno entre qualquer par de vetores da base deve ser zero.
O produto interno entre dois vetores e é dado por:
Vamos calcular o produto interno entre os dois primeiros vetores da base.

Passo 3

Calculando o produto interno de e :
Como o resultado não é zero, isso já indica que os vetores e não são ortogonais.

Passo 4

Como já encontramos que , não precisamos verificar os demais pares de vetores para ortogonalidade, pois para a base ser ortonormal, todos os pares de vetores devem ser ortogonais.
Mesmo assim, por completude, vamos calcular o produto interno dos outros pares.
Calculando :
E
Ambos também não são zero.

Passo 5

Mesmo não sendo necessário, vamos verificar a normalização dos vetores, ou seja, se cada vetor tem norma igual a 1. A norma de um vetor é dada por:
Calculando a norma de :
Como , não está normalizado.

Resposta

Não, a base não é ortonormal, pois os vetores não são todos ortogonais entre si e não possuem norma igual a 1.

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13a
e .
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11a
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8a
.
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