Considere
subespaço vetorial de
. Verifique se cada uma das bases abaixos de
são ortonormais:
16a
16a
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o subespaço vetorial
e uma base
. Nosso objetivo aqui é verificar se essa base é ortonormal. Para isso, vamos precisar entender dois conceitos principais:
- Ortogonais: Os vetores da base são ortogonais entre si se o produto interno (ou produto escalar) entre quaisquer dois vetores diferentes for igual a zero.
- Normalizados: Cada vetor da base tem comprimento (ou norma) igual a 1.
Então, para confirmar se
é uma base ortonormal, vamos primeiro verificar se os vetores são ortogonais entre si e depois se cada vetor tem norma igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores são ortogonais. Isso significa que o produto interno entre qualquer par de vetores da base deve ser zero.
O produto interno entre dois vetores
e
é dado por:
Vamos calcular o produto interno entre os dois primeiros vetores da base.
Passo 3
Calculando o produto interno de
e
:
Como o resultado não é zero, isso já indica que os vetores
e
não são ortogonais.
Passo 4
Como já encontramos que
, não precisamos verificar os demais pares de vetores para ortogonalidade, pois para a base ser ortonormal, todos os pares de vetores devem ser ortogonais.
Mesmo assim, por completude, vamos calcular o produto interno dos outros pares.
Calculando
:
E
Ambos também não são zero.
Ambos também não são zero.
Passo 5
Mesmo não sendo necessário, vamos verificar a normalização dos vetores, ou seja, se cada vetor tem norma igual a 1. A norma de um vetor
é dada por:
Calculando a norma de
:
Como
,
não está normalizado.
Resposta
Não, a base
não é ortonormal, pois os vetores não são todos ortogonais entre si e não possuem norma igual a 1.
Exercícios relacionados
Mostre que
, para todo par de vetores
e
é um produto interno em
. E verifique se
e
são ortogonais, em relação a este produto interno, nos seguintes casos:
13a
e
.
13a
Verifique de os seguintes operadores lineares são diagonalizáveis e em caso afirmativo determine a matriz diagonal correspondente.
11a
dado por
.
11a
Encontrar os autovalores e suas respectivas multiplicidades (algébrica e geométrica) e os autovetores do operador linear
nos seguintes casos:
8a
.
8a
Considere
um espaço vetorial real munido de um produto interno
. Encontrar a distância entre
e
e o cosseno do ângulo entre eles, onde
produto interno usual em
,
e
.