Considere W=(x, y, z, t) in R^4: x+y+z+t=0 subespaço vetorial de R^4. Verifique se cada uma das bases abaixos de W são ortonormais:
16a
B=(-1,1,0,0),(-1,0,1,0),(-1,0,0,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o subespaço vetorial e uma base . Nosso objetivo aqui é verificar se essa base é ortonormal. Para isso, vamos precisar entender dois conceitos principais:
  1. Ortogonais: Os vetores da base são ortogonais entre si se o produto interno (ou produto escalar) entre quaisquer dois vetores diferentes for igual a zero.
  2. Normalizados: Cada vetor da base tem comprimento (ou norma) igual a 1.
Então, para confirmar se é uma base ortonormal, vamos primeiro verificar se os vetores são ortogonais entre si e depois se cada vetor tem norma igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores são ortogonais. Isso significa que o produto interno entre qualquer par de vetores da base deve ser zero.
O produto interno entre dois vetores u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + u4v4 e é dado por:
Vamos calcular o produto interno entre os dois primeiros vetores da base.

Passo 3

Calculando o produto interno de v1 cdot v2 = (-1)(-1) + (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 1 + 0 + 0 + 0 = 1 e :
Como o resultado não é zero, isso já indica que os vetores e não são ortogonais.

Passo 4

Como já encontramos que v1 cdot v3 = (-1)(-1) + (1)(0) + (0)(0) + (0)(1) = 1 + 0 + 0 + 0 = 1 , não precisamos verificar os demais pares de vetores para ortogonalidade, pois para a base ser ortonormal, todos os pares de vetores devem ser ortogonais.
Mesmo assim, por completude, vamos calcular o produto interno dos outros pares.
Calculando :
E
Ambos também não são zero.

Passo 5

Mesmo não sendo necessário, vamos verificar a normalização dos vetores, ou seja, se cada vetor tem norma igual a 1. A norma de um vetor |v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2 + v4^2 é dada por:
|v1| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 + 0 = raiz2 approx 1,414
Calculando a norma de :
Como , não está normalizado.

Resposta

Não, a base não é ortonormal, pois os vetores não são todos ortogonais entre si e não possuem norma igual a 1.

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