Sejam
e
bases dos espaços vetoriais
e
, respectivamente. Encontrar, em cada um dos itens abaixo,
tal que
seja a matriz:
7a
7a
Passo 1
Vamos resolver um exercício de transformações lineares. Temos dois espaços vetoriais:
e
. As bases padrão são
para
e
para
. Queremos encontrar uma transformação linear
cuja matriz na base
seja:
Para isso, vamos precisar entender como construir a transformação linear a partir da sua matriz representativa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear
pode ser representada por uma matriz
. Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem dos vetores da base de
na base de
.
Passo 3
Vamos identificar as colunas da matriz fornecida:
A primeira coluna
representa
, a segunda coluna
representa
, e a terceira coluna
representa
.
Passo 4
Agora, para qualquer vetor
, a transformação
pode ser calculada combinando as imagens dos vetores da base, ou seja:
Substituindo as imagens encontradas:
Passo 5
Vamos somar as componentes:
Simplificando, temos:
Resposta
A transformação linear
é dada por:
Exercícios relacionados
Considere
um espaço vetorial real munido de um produto interno
. Encontrar a distância entre
e
e o cosseno do ângulo entre eles, onde
produto interno usual em
,
e
.
Encontrar os autovalores e suas respectivas multiplicidades (algébrica e geométrica) e os autovetores do operador linear
nos seguintes casos:
8a
.
8a
Seja
uma curva parametrizada, com
para todo
. Prove que
é constante não zero se, somente se
é ortogonal a
para todo
.
Determine
para que os vetores
sejam linearmente independentes.
e
.