Sejam e bases dos espaços vetoriais e , respectivamente. Encontrar, em cada um dos itens abaixo, tal que seja a matriz:
7a

Passo 1

Vamos resolver um exercício de transformações lineares. Temos dois espaços vetoriais: e . As bases padrão são para e para . Queremos encontrar uma transformação linear cuja matriz na base seja:
Para isso, vamos precisar entender como construir a transformação linear a partir da sua matriz representativa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem dos vetores da base de na base de .

Passo 3

Vamos identificar as colunas da matriz fornecida:
A primeira coluna representa , a segunda coluna representa , e a terceira coluna representa .

Passo 4

Agora, para qualquer vetor , a transformação pode ser calculada combinando as imagens dos vetores da base, ou seja:
Substituindo as imagens encontradas:

Passo 5

Vamos somar as componentes:
Simplificando, temos:

Resposta

A transformação linear é dada por:

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8a
.
Seja uma curva parametrizada, com para todo . Prove que é constante não zero se, somente se é ortogonal a para todo .
Determine para que os vetores sejam linearmente independentes. e .