Sejam U doteq R^3, V doteq R^2, beta doteq(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e gamma doteq(1,0),(0,1) bases dos espaços vetoriais U e V, respectivamente. Encontrar, em cada um dos itens abaixo, T in L(U, V) tal que [T]beta gamma seja a matriz:
7a
(lll1 & 2 & 3 4 & 5 & 1)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de transformações lineares. Temos dois espaços vetoriais: 1 & 2 & 3 4 & 5 & 1 e . As bases padrão são para e para . Queremos encontrar uma transformação linear cuja matriz na base seja:
Para isso, vamos precisar entender como construir a transformação linear a partir da sua matriz representativa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem dos vetores da base de na base de .

Passo 3

Vamos identificar as colunas da matriz fornecida:
1 & 2 & 3 4 & 5 & 1
A primeira coluna 1 4 representa 2 5 , a segunda coluna 3 1 representa , e a terceira coluna representa .

Passo 4

Agora, para qualquer vetor T(x, y, z) = x cdot T(1,0,0) + y cdot T(0,1,0) + z cdot T(0,0,1) , a transformação T(x, y, z) = x cdot 1 4 + y cdot 2 5 + z cdot 3 1 pode ser calculada combinando as imagens dos vetores da base, ou seja:
Substituindo as imagens encontradas:

Passo 5

Vamos somar as componentes:
T(x, y, z) = 1x + 2y + 3z 4x + 5y + 1z
Simplificando, temos:
T(x, y, z) = x + 2y + 3z 4x + 5y + z

Resposta

A transformação linear T(x, y, z) = x + 2y + 3z 4x + 5y + z é dada por:

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