Encontrar os autovalores e suas respectivas multiplicidades (algébrica e geométrica) e os autovetores do operador linear T: V V nos seguintes casos:
8a
V doteq R^2, T(x, y) doteq(x+y, x-y),(x, y) in R^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e suas multiplicidades algébrica e geométrica, além dos autovetores do operador linear , onde e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador A = 1 & 1 1 & -1 como uma matriz. Em , qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz que transforma o vetor . Então, temos:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica de det(A - lambda I) = 0 , que é dada por:
Aqui, representa os autovalores e é a matriz identidade.

Passo 4

Calculando A - lambda I = 1 - lambda & 1 1 & -1 - lambda :
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(-1 - lambda) - (1)(1) = 0
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
(1 - lambda)(-1 - lambda) - 1 = (lambda^2 - 0lambda - 1) - 1 = lambda^2 - 2 = 0
Simplificando:

Passo 5

Resolvendo a equação lambda^2 = 2 implies lambda = raiz2 ou lambda = -raiz2 :
Então, os autovalores são e .

Passo 6

Agora, vamos determinar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor.
  • Multiplicidade Algébrica: É o número de vezes que cada autovalor aparece como raiz da equação característica. Aqui, cada autovalor aparece uma vez, então a multiplicidade algébrica de e é 1.
  • Multiplicidade Geométrica: É a dimensão do espaço dos autovetores associados a cada autovalor, ou seja, o número de autovetores linearmente independentes para cada autovalor.

Passo 7

Vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para 1 - raiz2 & 1 1 & -1 - raiz2 x y = 0 0 :
Resolvemos (1 - raiz2)x + y = 0 x + (-1 - raiz2)y = 0 :
y = (raiz2 - 1)x
Isso nos dá o sistema:
v1 = 1 raiz2 - 1
A partir da primeira equação:
1 + raiz2 & 1 1 & -1 + raiz2 x y = 0 0
Portanto, um autovetor associado a (1 + raiz2)x + y = 0 x + (-1 + raiz2)y = 0 é:
y = -(1 + raiz2)x
Para v2 = 1 -1 - raiz2 :
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
A partir da primeira equação:
Portanto, um autovetor associado a é:

Resposta

Os autovalores do operador v1 = 1 raiz2 - 1 para lambda1 = raiz2 são v2 = 1 -1 - raiz2 para lambda2 = -raiz2 e , cada um com multiplicidade algébrica 1 e multiplicidade geométrica 1. Os respectivos autovetores são:

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