Encontrar os autovalores e suas respectivas multiplicidades (algébrica e geométrica) e os autovetores do operador linear nos seguintes casos:
8a
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e suas multiplicidades algébrica e geométrica, além dos autovetores do operador linear , onde e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Em , qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz que transforma o vetor . Então, temos:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica de , que é dada por:
Aqui, representa os autovalores e é a matriz identidade.

Passo 4

Calculando :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:

Passo 5

Resolvendo a equação :
Então, os autovalores são e .

Passo 6

Agora, vamos determinar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor.
  • Multiplicidade Algébrica: É o número de vezes que cada autovalor aparece como raiz da equação característica. Aqui, cada autovalor aparece uma vez, então a multiplicidade algébrica de e é 1.
  • Multiplicidade Geométrica: É a dimensão do espaço dos autovetores associados a cada autovalor, ou seja, o número de autovetores linearmente independentes para cada autovalor.

Passo 7

Vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
A partir da primeira equação:
Portanto, um autovetor associado a é:
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
A partir da primeira equação:
Portanto, um autovetor associado a é:

Resposta

Os autovalores do operador são e , cada um com multiplicidade algébrica 1 e multiplicidade geométrica 1. Os respectivos autovetores são:

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16a
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13a
e .
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7a