Encontrar os autovalores e suas respectivas multiplicidades (algébrica e geométrica) e os autovetores do operador linear
nos seguintes casos:
8a
.
8a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e suas multiplicidades algébrica e geométrica, além dos autovetores do operador linear
, onde
e
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador
como uma matriz. Em
, qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz
que transforma o vetor
. Então, temos:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica de
, que é dada por:
Aqui,
representa os autovalores e
é a matriz identidade.
Passo 4
Calculando
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Passo 5
Resolvendo a equação
:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 6
Agora, vamos determinar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor.
-
Multiplicidade Algébrica: É o número de vezes que cada autovalor aparece como raiz da equação característica. Aqui, cada autovalor aparece uma vez, então a multiplicidade algébrica de
e é 1. -
Multiplicidade Geométrica: É a dimensão do espaço dos autovetores associados a cada autovalor, ou seja, o número de autovetores linearmente independentes para cada autovalor.
Passo 7
Vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá o sistema:
A partir da primeira equação:
Portanto, um autovetor associado a
é:
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá o sistema:
A partir da primeira equação:
Portanto, um autovetor associado a
é:
Resposta
Os autovalores do operador
são
e
, cada um com multiplicidade algébrica 1 e multiplicidade geométrica 1. Os respectivos autovetores são:
Exercícios relacionados
Considere
subespaço vetorial de
. Verifique se cada uma das bases abaixos de
são ortonormais:
16a
16a
Mostre que
, para todo par de vetores
e
é um produto interno em
. E verifique se
e
são ortogonais, em relação a este produto interno, nos seguintes casos:
13a
e
.
13a
Considere
um espaço vetorial real munido de um produto interno
. Encontrar a distância entre
e
e o cosseno do ângulo entre eles, onde
produto interno usual em
,
e
.
Sejam
e
bases dos espaços vetoriais
e
, respectivamente. Encontrar, em cada um dos itens abaixo,
tal que
seja a matriz:
7a
7a