Considere
como o conjunto de pares ordenados de números reais. Para
e
elementos de
e
, defina as operações:
Verifique se
é um espaço vetorial sobre
com essas operações de soma de vetores e multiplicação por escalar. Caso não seja, identifique quais axiomas de espaço vetorial não são satisfeitos e justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o conjunto
com certas operações de soma e multiplicação por escalar forma um espaço vetorial sobre os números reais
. Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas de espaço vetorial e ver se eles são satisfeitos com as operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um espaço vetorial. É um conjunto de vetores que, além de ter uma operação de soma, também permite a multiplicação por escalar, seguindo certos axiomas como associatividade, existência de elemento neutro, etc.
Passo 3
As operações dadas são:
Vamos verificar se essas operações respeitam os axiomas de um espaço vetorial.
Passo 4
Axioma 1: Fechamento da soma
Ao somar dois elementos de , o resultado deve estar em
. Aqui,
é real e
também é real, então a soma está em
. Ok até aqui.
Ao somar dois elementos de
Passo 5
Axioma 2: Comutatividade da soma
A soma deve ser comutativa, ou seja:
A soma deve ser comutativa, ou seja:
Vamos verificar:
Perfeito, pois a adição e a multiplicação de números reais são comutativas.
Passo 6
Axioma 3: Existência do elemento neutro da soma
Devemos ter um vetor zero tal que:
Devemos ter um vetor zero
Pelo jeito das operações:
Então, o elemento neutro seria
. Isso funciona.
Passo 7
Axioma 4: Existência de um inverso aditivo
Para todo vetor , deve existir
tal que:
Para todo vetor
Isso implica:
Logo,
, então
. Porém, isso só funciona se
. Se
, não tem inverso. Portanto, nem todo vetor tem inverso aditivo. Aqui já encontramos um problema!
Passo 8
Axioma 5: Associatividade da soma
Mesmo que já tenhamos um problema, vamos checar mais um. A soma deve ser associativa:
Mesmo que já tenhamos um problema, vamos checar mais um. A soma deve ser associativa:
Calculando ambos os lados:
Esquerda:
Esquerda:
Direita:
Como a multiplicação é associativa, essas duas expressões são iguais. Ok aqui.
Passo 9
Axioma 6: Multiplicação por escalar
Devemos verificar se:
Devemos verificar se:
Calculando os dois lados:
Esquerda:
Esquerda:
Direita:
Iguais, então está ok.
Passo 10
Axioma 7: Distribuição da soma de vetores
Devemos ter:
Devemos ter:
Calculando:
Esquerda:
Esquerda:
Direita:
Igualdade válida, pois
. Ok.
Passo 11
Axioma 8: Distribuição da soma de escalares
Verificar:
Verificar:
Calculando:
Esquerda:
Esquerda:
Direita:
Para que sejam iguais, precisaríamos que
, o que só é verdade se
ou
. Não vale para todo
, então esse axioma não é satisfeito.
Passo 12
Conclusão: As operações definidas não satisfazem todos os axiomas de espaço vetorial. Especificamente, os axiomas Existência de inverso aditivo e Distribuição da soma de escalares não são atendidos em geral.
Resposta
Não,
não é um espaço vetorial sobre
. Os axiomas de existência de inverso aditivo e distribuição da soma de escalares não são satisfeitos.