Considere V como o conjunto de pares ordenados de números reais. Para (a1, a2) e (b1, b2) elementos de V e c in R, defina as operações:
(a1, a2)+(b1, b2)=(a1+b1, a2 b2) e c(a1, a2)=(c a1, a2)
Verifique se (V,+, cdot) é um espaço vetorial sobre R com essas operações de soma de vetores e multiplicação por escalar. Caso não seja, identifique quais axiomas de espaço vetorial não são satisfeitos e justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o conjunto com certas operações de soma e multiplicação por escalar forma um espaço vetorial sobre os números reais . Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas de espaço vetorial e ver se eles são satisfeitos com as operações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um espaço vetorial. É um conjunto de vetores que, além de ter uma operação de soma, também permite a multiplicação por escalar, seguindo certos axiomas como associatividade, existência de elemento neutro, etc.

Passo 3

As operações dadas são:
(a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 times b2)
c (a1, a2) = (c times a1, a2)
Vamos verificar se essas operações respeitam os axiomas de um espaço vetorial.

Passo 4

Axioma 1: Fechamento da soma
Ao somar dois elementos de , o resultado deve estar em . Aqui, é real e também é real, então a soma está em . Ok até aqui.

Passo 5

Axioma 2: Comutatividade da soma
A soma deve ser comutativa, ou seja:
(a1, a2) + (b1, b2) = (b1, b2) + (a1, a2)
Vamos verificar:
(a1 + b1, a2 times b2) = (b1 + a1, b2 times a2)
Perfeito, pois a adição e a multiplicação de números reais são comutativas.

Passo 6

Axioma 3: Existência do elemento neutro da soma
Devemos ter um vetor zero (a1, a2) + 0 = (a1, a2) tal que:
(a1 + 0, a2 times 1) = (a1, a2)
Pelo jeito das operações:
Então, o elemento neutro seria . Isso funciona.

Passo 7

Axioma 4: Existência de um inverso aditivo
Para todo vetor (a1, a2) + (-a1, b) = (0,1) , deve existir (a1 - a1, a2 times b) = (0,1) tal que:
Isso implica:
Logo, , então . Porém, isso só funciona se . Se , não tem inverso. Portanto, nem todo vetor tem inverso aditivo. Aqui já encontramos um problema!

Passo 8

Axioma 5: Associatividade da soma
Mesmo que já tenhamos um problema, vamos checar mais um. A soma deve ser associativa:
((a1, a2) + (b1, b2)) + (c1, c2) = (a1, a2) + ((b1, b2) + (c1, c2))
Calculando ambos os lados:
Esquerda:
(a1 + b1, a2 times b2) + (c1, c2) = (a1 + b1 + c1, (a2 times b2) times c2)
Direita:
(b1 + c1, b2 times c2) + (a1, a2) = (a1 + b1 + c1, a2 times (b2 times c2))
Como a multiplicação é associativa, essas duas expressões são iguais. Ok aqui.

Passo 9

Axioma 6: Multiplicação por escalar
Devemos verificar se:
c (d (a1, a2)) = (cd) (a1, a2)
Calculando os dois lados:
Esquerda:
c (d a1, a2) = (c d a1, a2)
Direita:
(cd) (a1, a2) = (c d a1, a2)
Iguais, então está ok.

Passo 10

Axioma 7: Distribuição da soma de vetores
Devemos ter:
c ((a1, a2) + (b1, b2)) = c (a1, a2) + c (b1, b2)
Calculando:
Esquerda:
c (a1 + b1, a2 times b2) = (c(a1 + b1), a2 times b2)
Direita:
(c a1, a2) + (c b1, b2) = (c a1 + c b1, a2 times b2)
Igualdade válida, pois . Ok.

Passo 11

Axioma 8: Distribuição da soma de escalares
Verificar:
(c + d) (a1, a2) = c (a1, a2) + d (a1, a2)
Calculando:
Esquerda:
((c + d) a1, a2)
Direita:
(c a1, a2) + (d a1, a2) = (c a1 + d a1, a2 times a2) = ((c + d) a1, a2^2)
Para que sejam iguais, precisaríamos que , o que só é verdade se ou . Não vale para todo , então esse axioma não é satisfeito.

Passo 12

Conclusão: As operações definidas não satisfazem todos os axiomas de espaço vetorial. Especificamente, os axiomas Existência de inverso aditivo e Distribuição da soma de escalares não são atendidos em geral.

Resposta

Não, não é um espaço vetorial sobre . Os axiomas de existência de inverso aditivo e distribuição da soma de escalares não são satisfeitos.

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