Mostre que se e são bases ortonormais, então a matriz de mudança de base de E para F satisfaz , onde é a matriz identidade(matrizes com tal propriedade chamam-se matrizes ortogonais).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases ortonormais e . A gente precisa mostrar que a matriz de mudança de base de E para F, chamada , satisfaz , onde é a matriz identidade. Isso significa que é uma matriz ortogonal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base ortonormal. Em uma base ortonormal, todos os vetores são unitários (têm comprimento 1) e mutuamente ortogonais (produto interno entre vetores diferentes é zero). Isso significa que , onde é o delta de Kronecker, que vale 1 se e 0 caso contrário. O mesmo vale para os vetores da base .
Passo 3
Agora, a matriz de mudança de base de E para F é formada pelos coeficientes que expressam cada vetor da base E em termos da base F. Ou seja, se escrevemos , então é a matriz que transforma coordenadas de E para F.
Passo 4
Como as duas bases são ortonormais, podemos usar o fato de que a matriz satisfaz:
Isso quer dizer que a transposta de é igual à sua inversa. Uma propriedade de matrizes ortogonais é exatamente essa: .
Passo 5
Vamos multiplicar pela sua transposta:
E também:
Isso segue da propriedade , já que e .
Resposta
Assim, mostramos que a matriz de mudança de base satisfaz , ou seja, é uma matriz ortogonal.