Dado o espaço vetorial , determine uma base e dimensão de cada um dos subespaços de a seguir:
a) e e .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial e um subespaço definido por duas condições:
Nosso objetivo é encontrar uma base para e determinar a dimensão desse subespaço. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema de equações para expressar algumas variáveis em termos das outras. As equações são:
Da primeira equação, podemos isolar :
Passo 3
Substituindo na segunda equação:
Agora, temos e . As variáveis e não estão restritas por essas equações, então podemos considerá-las como parâmetros livres.
Passo 4
Vamos expressar todas as variáveis em termos dos parâmetros livres e :
Podemos escrever um vetor genérico em W como:
(x, y, z, t) = (y, y, z, -3y)
Isso pode ser decomposto em combinações lineares dos vetores que multiplicam os parâmetros y e z:
(y, y, z, -3y) = y(1, 1, 0, -3) + z(0, 0, 1, 0)
Passo 5
Os vetores v1 = (1, 1, 0, -3) e v2 = (0, 0, 1, 0) formam uma base para W, pois qualquer vetor em W pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores, e eles são linearmente independentes.
Passo 6
A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como encontramos dois vetores na base de W, a dimensão de W é 2.
Resposta
Uma base para W é , (1,,1,,0,,-3),; (0,,0,,1,,0) , e a dimensão de W é 2.