Dado o espaço vetorial V, determine uma base e dimensão de cada um dos subespaços de V a seguir:
a) V=R^4 e W=(x, y, z, t) in R^4: x-y=0 e x+2 y+t=0.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial V = R^4 e um subespaço W definido por duas condições:
x - y = 0 e x + 2y + t = 0
Nosso objetivo é encontrar uma base para W e determinar a dimensão desse subespaço. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema de equações para expressar algumas variáveis em termos das outras. As equações são:
x - y = 0 x + 2y + t = 0
Da primeira equação, podemos isolar x:
x = y

Passo 3

Substituindo x = y na segunda equação:
y + 2y + t = 0 3y + t = 0 t = -3y
Agora, temos x = y e t = -3y. As variáveis y e z não estão restritas por essas equações, então podemos considerá-las como parâmetros livres.

Passo 4

Vamos expressar todas as variáveis em termos dos parâmetros livres y e z:
x = y y = y z = z t = -3y
Podemos escrever um vetor genérico em W como:
(x, y, z, t) = (y, y, z, -3y)
Isso pode ser decomposto em combinações lineares dos vetores que multiplicam os parâmetros y e z:
(y, y, z, -3y) = y(1, 1, 0, -3) + z(0, 0, 1, 0)

Passo 5

Os vetores v1 = (1, 1, 0, -3) e v2 = (0, 0, 1, 0) formam uma base para W, pois qualquer vetor em W pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores, e eles são linearmente independentes.

Passo 6

A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. Como encontramos dois vetores na base de W, a dimensão de W é 2.

Resposta

Uma base para W é , (1,,1,,0,,-3),; (0,,0,,1,,0) , e a dimensão de W é 2.

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