Considere V espaço vetorial sobre R. Assuma que S1 e S2 são subespaços vetoriais de V. Mostre a seguinte afirmação
S1 cup S2 é subespaço vetorial de V se, e somente se, (S1 subset S2 ou S2 subset S1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a união de dois subespaços vetoriais, S1 cup S2, também é um subespaço vetorial de V se e somente se um dos subespaços está contido dentro do outro, ou seja, S1 subset S2 ou S2 subset S1. Vamos usar os conceitos de subespaço vetorial e as propriedades que eles precisam satisfazer para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto S de um espaço vetorial V é um subespaço se:
  1. O vetor zero está em S.
  2. Se u e v estão em S, então u + v também está em S (fechado para adição).
  3. Se u está em S e c é um escalar, então c cdot u está em S (fechado para multiplicação por escalar).

Passo 3

Vamos pensar na união S1 cup S2. Para que isso seja um subespaço, precisa satisfazer as três condições acima. Vamos verificar cada uma delas.

Passo 4

Primeiro, o vetor zero está em todo subespaço, então como S1 e S2 são subespaços, 0 in S1 e 0 in S2. Assim, 0 in S1 cup S2. A primeira condição está ok.

Passo 5

Agora, vamos verificar se S1 cup S2 é fechado para adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores na união, a soma deles também deve estar na união.

Passo 6

Aqui, pode complicar. Se u in S1 e v in S2, a soma u + v precisaria estar em S1 cup S2. Mas isso não acontece de forma geral, a menos que um dos subespaços esteja contido no outro.

Passo 7

Por exemplo, se todo vetor de S1 está em S2 ( S1 subset S2), então S1 cup S2 = S2, que é um subespaço. O mesmo vale se S2 subset S1. Assim, a união seria fechada para adição nesses casos.

Passo 8

Se nenhum dos subespaços está contido no outro, podemos encontrar vetores em S1 e S2 que não estão no mesmo subespaço. Isso faz com que a soma desses vetores não esteja na união, quebrando a condição de fechamento para adição.

Passo 9

Finalmente, a condição de fechamento para multiplicação por escalar sempre será satisfeita, já que cada subespaço individualmente é fechado para essa operação. O problema realmente está na adição.

Resposta

Portanto, a união S1 cup S2 é um subespaço vetorial de V se e somente se um dos subespaços está contido no outro, ou seja, (S1 subset S2) ou (S2 subset S1).

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