Considere
espaço vetorial sobre
. Assuma que
e
são subespaços vetoriais de V. Mostre a seguinte afirmação
é subespaço vetorial de
se, e somente se,
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a união de dois subespaços vetoriais,
, também é um subespaço vetorial de
se e somente se um dos subespaços está contido dentro do outro, ou seja,
ou
. Vamos usar os conceitos de subespaço vetorial e as propriedades que eles precisam satisfazer para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se:
- O vetor zero está em
. - Se
e estão em , então também está em (fechado para adição). - Se
está em e é um escalar, então está em (fechado para multiplicação por escalar).
Passo 3
Vamos pensar na união
. Para que isso seja um subespaço, precisa satisfazer as três condições acima. Vamos verificar cada uma delas.
Passo 4
Primeiro, o vetor zero está em todo subespaço, então como
e
são subespaços,
e
. Assim,
. A primeira condição está ok.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é fechado para adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores na união, a soma deles também deve estar na união.
Passo 6
Aqui, pode complicar. Se
e
, a soma
precisaria estar em
. Mas isso não acontece de forma geral, a menos que um dos subespaços esteja contido no outro.
Passo 7
Por exemplo, se todo vetor de
está em
(
), então
, que é um subespaço. O mesmo vale se
. Assim, a união seria fechada para adição nesses casos.
Passo 8
Se nenhum dos subespaços está contido no outro, podemos encontrar vetores em
e
que não estão no mesmo subespaço. Isso faz com que a soma desses vetores não esteja na união, quebrando a condição de fechamento para adição.
Passo 9
Finalmente, a condição de fechamento para multiplicação por escalar sempre será satisfeita, já que cada subespaço individualmente é fechado para essa operação. O problema realmente está na adição.
Resposta
Portanto, a união
é um subespaço vetorial de
se e somente se um dos subespaços está contido no outro, ou seja,
ou
.
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f)
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e
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a)
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