Considere V=R^3 munido com o produto interno usual e o subespaço vetorial. S=[x, y, z] in R^3 ; 2 x-y+3 z=0. b) Determine o subespaço S^perp.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o espaço vetorial com o produto interno usual, e um subespaço definido por . O que precisamos fazer aqui é descobrir o subespaço , que é o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a cada vetor em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Esse conjunto é chamado de complemento ortogonal de e contém todos os vetores que são perpendiculares a todos os vetores de . Em outras palavras, se , então para qualquer , o produto interno .

Passo 3

Agora, vamos identificar uma maneira fácil de encontrar . Observamos que a equação define um plano em . O vetor normal a esse plano é , porque os coeficientes de , e na equação representam as componentes do vetor normal.

Passo 4

Em , o complemento ortogonal de um plano é formado por todos os múltiplos do vetor normal a esse plano. Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como , onde é um escalar real.

Passo 5

Portanto, o subespaço S^perp = k cdot [2, -1, 3] ;|; k in R é dado por:
Isso significa que é a coleção de todos os vetores que são múltiplos do vetor .

Resposta

O subespaço S^perp = [2k, -k, 3k] ;|; k in R é:

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Seja beta=1-2 t-2 t^2,-2+3 t-t^2, 1-t+2 t^2 subset P2. (9,4) c) Utilize a matriz do item b) anterior para determinar (p(x))beta, com p(x)=-1+2 t+5 t^2.
Classifique as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta por meios de argumentos, esquemas, por representações ou por verificações.
a) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos.
Classifique as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta por meios de argumentos, esquemas, por representações ou por verificações.
b) Se duas retas não são coplanares, elas são reversas.