Considere
munido com o produto interno usual e o subespaço vetorial.
. b) Determine o subespaço
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o espaço vetorial
com o produto interno usual, e um subespaço
definido por
. O que precisamos fazer aqui é descobrir o subespaço
, que é o conjunto de todos os vetores em
que são ortogonais a cada vetor em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Esse conjunto é chamado de complemento ortogonal de
e contém todos os vetores que são perpendiculares a todos os vetores de
. Em outras palavras, se
, então para qualquer
, o produto interno
.
Passo 3
Agora, vamos identificar uma maneira fácil de encontrar
. Observamos que a equação
define um plano em
. O vetor normal a esse plano é
, porque os coeficientes de
,
e
na equação representam as componentes do vetor normal.
Passo 4
Em
, o complemento ortogonal de um plano é formado por todos os múltiplos do vetor normal a esse plano. Isso significa que qualquer vetor em
pode ser escrito como
, onde
é um escalar real.
Passo 5
Portanto, o subespaço
é dado por:
Isso significa que
é a coleção de todos os vetores que são múltiplos do vetor
.
Resposta
O subespaço
é:
Exercícios relacionados
Seja
.
c) Utilize a matriz do item b) anterior para determinar
, com
.
Classifique as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta por meios de argumentos, esquemas, por representações ou por verificações.
a) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos.
a) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos.
Classifique as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta por meios de argumentos, esquemas, por representações ou por verificações.
b) Se duas retas não são coplanares, elas são reversas.
b) Se duas retas não são coplanares, elas são reversas.