Seja . c) Utilize a matriz do item b) anterior para determinar , com .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as coordenadas de um polinômio em relação à base no espaço dos polinômios de grau no máximo 2, . Vamos precisar entender como mudar a base de um vetor (no caso, do polinômio) usando uma matriz de mudança de base que foi obtida no item b) anterior.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar as coordenadas de na base , precisamos expressar como uma combinação linear dos vetores que formam a base. Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
Passo 3
Para resolver isso, podemos montar um sistema de equações igualando os coeficientes dos termos correspondentes de e da combinação linear. Vamos expandir a expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de em ambos os lados da igualdade:
Passo 5
Esse sistema de equações pode ser representado na forma matricial A = 1 & -2 & 1 -2 & 3 & -1 -2 & -1 & 2 , c = c1 c2 c3 , p = -1 2 5 , onde:
Passo 6
Para encontrar os valores de , precisamos resolver o sistema. Se já temos a matriz do item b), ela provavelmente é a matriz inversa ou algo relacionado à mudança de base. Mas vamos resolver passo a passo usando métodos de álgebra linear, como eliminação de Gauss.
Passo 7
Aplicando a eliminação de Gauss:
Deixamos a primeira equação como está:
c1 - 2c2 + c3 = -1
Multiplicamos a primeira equação por 2 e somamos à segunda para eliminar (-2c1 + 3c2 - c3) + 2(c1 - 2c2 + c3) = 2 + 2(-1) (-2c1 + 3c2 - c3) + (2c1 - 4c2 + 2c3) = 0 (-c2 + c3) = 0 Rightarrow -c2 + c3 = 0 :