Seja beta=1-2 t-2 t^2,-2+3 t-t^2, 1-t+2 t^2 subset P2. (9,4) c) Utilize a matriz do item b) anterior para determinar (p(x))beta, com p(x)=-1+2 t+5 t^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as coordenadas de um polinômio em relação à base no espaço dos polinômios de grau no máximo 2, . Vamos precisar entender como mudar a base de um vetor (no caso, do polinômio) usando uma matriz de mudança de base que foi obtida no item b) anterior.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar as coordenadas de p(x) = c1(1 - 2t - 2t^2) + c2(-2 + 3t - t^2) + c3(1 - t + 2t^2) na base , precisamos expressar como uma combinação linear dos vetores que formam a base. Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:

Passo 3

Para resolver isso, podemos montar um sistema de equações igualando os coeficientes dos termos correspondentes de -1 + 2t + 5t^2 = c1(1) + c1(-2t) + c1(-2t^2) + c2(-2) + c2(3t) + c2(-t^2) + c3(1) + c3(-t) + c3(2t^2) e da combinação linear. Vamos expandir a expressão:
-1 + 2t + 5t^2 = (c1 - 2c2 + c3) + (-2c1 + 3c2 - c3)t + (-2c1 - c2 + 2c3)t^2
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de c1 - 2c2 + c3 = -1 -2c1 + 3c2 - c3 = 2 -2c1 - c2 + 2c3 = 5 em ambos os lados da igualdade:

Passo 5

Esse sistema de equações pode ser representado na forma matricial A = 1 & -2 & 1 -2 & 3 & -1 -2 & -1 & 2 , c = c1 c2 c3 , p = -1 2 5 , onde:

Passo 6

Para encontrar os valores de , precisamos resolver o sistema. Se já temos a matriz do item b), ela provavelmente é a matriz inversa ou algo relacionado à mudança de base. Mas vamos resolver passo a passo usando métodos de álgebra linear, como eliminação de Gauss.

Passo 7

Aplicando a eliminação de Gauss:
  1. Deixamos a primeira equação como está:
    c1 - 2c2 + c3 = -1
  2. Multiplicamos a primeira equação por 2 e somamos à segunda para eliminar (-2c1 + 3c2 - c3) + 2(c1 - 2c2 + c3) = 2 + 2(-1) (-2c1 + 3c2 - c3) + (2c1 - 4c2 + 2c3) = 0 (-c2 + c3) = 0 Rightarrow -c2 + c3 = 0 :
    (-2c1 - c2 + 2c3) + 2(c1 - 2c2 + c3) = 5 + 2(-1) (-2c1 - c2 + 2c3) + (2c1 - 4c2 + 2c3) = 3 (-5c2 + 4c3) = 3
  3. Multiplicamos a primeira equação por 2 e somamos à terceira para eliminar :

Passo 8

Agora temos um sistema reduzido:
-c2 + c3 = 0 -5c2 + 4c3 = 3
Da primeira equação, podemos expressar -5c2 + 4c2 = 3 -c2 = 3 c2 = -3 . Substituindo na segunda equação:
Então, .

Passo 9

Voltando à primeira equação original para encontrar c1 - 2c2 + c3 = -1 c1 - 2(-3) + (-3) = -1 c1 + 6 - 3 = -1 c1 + 3 = -1 c1 = -4 :

Resposta

As coordenadas de (p(x))beta = -4 -3 -3 na base são:

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