Questão
Dados U e W subespaços do
, dizemos que
é soma direta de
e
, quando satisfazem quais condiçöes?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A pergunta fala sobre subespaços
e
dentro de um espaço vetorial
e quer saber quais condições esses subespaços precisam satisfazer para que
seja a soma direta de
e
. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre soma direta de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a soma de dois subespaços. A soma
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como
, onde
e
. Para que
seja a soma direta de
e
, precisamos que toda combinação possível desses vetores
cubra todo o espaço
.
Passo 3
Mas não basta apenas que
. Também precisamos garantir que essa representação seja única. Isso significa que não deve haver duas maneiras diferentes de escrever um mesmo vetor em
como soma de um vetor de
e outro de
. Se houver sobreposição entre
e
, essa unicidade pode não existir.
Passo 4
Para garantir essa unicidade, a interseção de
e
deve ser apenas o vetor zero. Ou seja, o único vetor que está simultaneamente em
e em
é o vetor nulo
. Se existirem outros vetores além do zero na interseção, então poderíamos ter diferentes maneiras de decompor um vetor em
.
Passo 5
Resumindo, as duas condições que precisamos para que
seja a soma direta de
e
são:
- A soma dos subespaços cobre todo o espaço
: . - A interseção dos subespaços é apenas o vetor zero:
.
Resposta
Para que
seja a soma direta de
e
, devem ser satisfeitas as seguintes condições:
-
. -
.
Exercícios relacionados
Seja
.
c) Utilize a matriz do item b) anterior para determinar
, com
.
Seja
.
b) Se ᄃéa base canônica do
, construa a malriz mudança de base
.
Considere
munido com o produto interno usual e o subespaço vetorial.
. b) Determine o subespaço
.
Classifique as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta por meios de argumentos, esquemas, por representações ou por verificações.
a) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos.
a) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos.