(0,5) Questão 3(0,5) Dados U e W subespaços do V, dizemos que V é soma direta de U e W, quando satisfazem quais condiçöes?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A pergunta fala sobre subespaços e dentro de um espaço vetorial e quer saber quais condições esses subespaços precisam satisfazer para que seja a soma direta de e . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre soma direta de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a soma de dois subespaços. A soma é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como , onde e . Para que seja a soma direta de e , precisamos que toda combinação possível desses vetores cubra todo o espaço .

Passo 3

Mas não basta apenas que . Também precisamos garantir que essa representação seja única. Isso significa que não deve haver duas maneiras diferentes de escrever um mesmo vetor em como soma de um vetor de e outro de . Se houver sobreposição entre e , essa unicidade pode não existir.

Passo 4

Para garantir essa unicidade, a interseção de e deve ser apenas o vetor zero. Ou seja, o único vetor que está simultaneamente em e em é o vetor nulo . Se existirem outros vetores além do zero na interseção, então poderíamos ter diferentes maneiras de decompor um vetor em .

Passo 5

Resumindo, as duas condições que precisamos para que seja a soma direta de e são:
  1. A soma dos subespaços cobre todo o espaço : .
  2. A interseção dos subespaços é apenas o vetor zero: .

Resposta

Para que seja a soma direta de e , devem ser satisfeitas as seguintes condições:
  1. .
  2. .

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