Seja a equação não trivial
Provar que existe um ponto
tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação linear não trivial na forma
. Nosso objetivo é provar que existe pelo menos um ponto
que satisfaz essa equação, ou seja, que faz
ser verdadeira.
Aqui, estamos lidando com equações lineares, que são equações de primeiro grau com duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar valores de
e
que tornam a equação verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação linear como
representa uma reta no plano cartesiano. Isso significa que existem infinitas soluções, ou seja, infinitos pontos
que satisfazem a equação.
Para provar que pelo menos um ponto existe, podemos achar um exemplo concreto. Vamos simplificar nosso trabalho escolhendo um valor para uma das variáveis e resolvendo para a outra.
Passo 3
Vamos assumir que
não é igual a zero (
). Isso nos permite resolver a equação para
em termos de
.
Rearranjando a equação:
Isolando
:
Passo 4
Agora, vamos escolher um valor específico para
para facilitar a solução. Vamos escolher
.
Substituindo
na equação de
:
Então, temos um ponto onde
e
.
Passo 5
Portanto, o ponto
satisfaz a equação original, já que substituindo na equação temos:
Isso mostra que existe pelo menos um ponto que resolve a equação.
Resposta
Existe pelo menos um ponto que satisfaz a equação
, por exemplo,
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Identifique os casos em que temos um produto interno definido em
. Nos casos que falham, indique qual é a propriedade que não se verifica.
b)
b)
Mostre que, tomando
e os vetores
, a relação abeixo é um produto interno:
Determinar o gráfico correspondente da equação
Considere
. Sendo
e
em
determine um vetor
desse espaço tal que
e
.