Seja a equação não trivial
A x+B y+C=0
Provar que existe um ponto (xo, yo) tal que
A xo+B yo+C=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação linear não trivial na forma . Nosso objetivo é provar que existe pelo menos um ponto que satisfaz essa equação, ou seja, que faz ser verdadeira.
Aqui, estamos lidando com equações lineares, que são equações de primeiro grau com duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar valores de e que tornam a equação verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação linear como representa uma reta no plano cartesiano. Isso significa que existem infinitas soluções, ou seja, infinitos pontos que satisfazem a equação.
Para provar que pelo menos um ponto existe, podemos achar um exemplo concreto. Vamos simplificar nosso trabalho escolhendo um valor para uma das variáveis e resolvendo para a outra.

Passo 3

Vamos assumir que A x + B y + C = 0 não é igual a zero ( B y = -A x - C ). Isso nos permite resolver a equação para y = -A x - C B em termos de .
Rearranjando a equação:
Isolando :

Passo 4

Agora, vamos escolher um valor específico para y = -A (0) - C B = -C B para facilitar a solução. Vamos escolher .
Substituindo na equação de :
Então, temos um ponto onde e .

Passo 5

Portanto, o ponto A(0) + B( -C B ) + C = 0 + (-C) + C = 0 satisfaz a equação original, já que substituindo na equação temos:
Isso mostra que existe pelo menos um ponto que resolve a equação.

Resposta

Existe pelo menos um ponto que satisfaz a equação , por exemplo, .

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