Quais dos subconjuntos do
com as operações usuais são subespaços vetoriais?
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Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente quer saber se o conjunto
é um subespaço vetorial de
com as operações usuais de soma de vetores e multiplicação por escalar. Para verificar isso, vamos precisar saber quais são as propriedades que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um subespaço vetorial:
- Contém o vetor zero: O conjunto deve incluir o vetor
. - Fechado sob adição: Se pegarmos dois vetores quaisquer do conjunto e somarmos, o resultado também deve pertencer ao conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se pegarmos um vetor do conjunto e multiplicarmos por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto
.
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em é
. Na nossa definição de
, temos que
, então
pertence a
. Então, essa propriedade está satisfeita.
O vetor zero em
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer de . Seja
e
. A soma deles é:
Vamos pegar dois vetores quaisquer de
Note que a primeira componente é 0, então
também está em
. Portanto,
é fechado sob adição.
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer de , digamos
, e multiplicar por um escalar
:
Vamos pegar um vetor qualquer de
A primeira componente continua sendo 0, então
também está em
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
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Determine a equação reduzida da elipse onde:
Os vértices são: e
.
Os vértices são:
Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de
:
.
Determine a equação reduzida e geral da circunferência de:
e
Considere
e
.
(b) é uma combinação linear de
e
?
(b)