Considere v1=(4,2,-3), v2=(2,1,-2) e v3=(-2,-1,0).
© v=(2,-1,1) é uma combinação linear de v1, v2 e v3 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se o vetor pode ser formado combinando os vetores , e . Isso tudo entra no conteúdo de combinação linear, que basicamente é ver se dá pra escrever um vetor como uma mistura dos outros vetores usando certos coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Queremos encontrar números a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 = v , 4a + 2b - 2c = 2 2a + b - c = -1 -3a - 2b + 0c = 1 e tal que:
Isso dá pra gente o seguinte sistema de equações, considerando cada componente dos vetores:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Começamos pela terceira equação, que é mais simples:
-3a - 2b = 1
Podemos isolar uma das variáveis. Vamos isolar -3a = 1 + 2b a = -1 + 2b3 :

Passo 4

Com a expressão de 2(-1 + 2b3) + b - c = -1 em termos de -2 + 4b3 + b - c = -1 , vamos substituir na segunda equação:
-2 - 4b + 3b - 3c = -3 -2 - b - 3c = -3
Simplificando:
- b - 3c = -1 b + 3c = 1 b = 1 - 3c
Multiplicando tudo por 3 para eliminar os denominadores:
Isolando uma variável, vamos resolver para :

Passo 5

Agora que temos a = -1 + 2(1 - 3c)3 a = -1 + 2 - 6c3 a = -3 - 6c3 a = -1 + 2c em termos de , vamos substituir na expressão de :

Passo 6

Com 4(-1 + 2c) + 2(1 - 3c) - 2c = 2 -4 + 8c + 2 - 6c - 2c = 2 (-4 + 2) + (8c - 6c - 2c) = 2 -2 + 0c = 2 -2 = 2 e , vamos substituir esses valores na primeira equação:
Aqui percebemos que chegamos a uma contradição: . Isso significa que não existe nenhum valor de que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Resposta

Não, o vetor não é uma combinação linear dos vetores , e .

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