Determine se os conjuntos de vetores abaixo são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Justifique.
(b) S=(1,0,1),(0,1,0),(1,2,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se o conjunto de vetores é linearmente dependente ou independente. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre combinações lineares e independência linear. Vamos precisar montar um sistema de equações para verificar se só a solução trivial existe.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem linearmente independentes. Isso quer dizer que a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se c1(1,0,1) + c2(0,1,0) + c3(1,2,2) = (0,0,0) só tem solução .

Passo 3

Vamos montar as equações a partir da combinação linear:
c1 cdot 1 + c2 cdot 0 + c3 cdot 1 = 0 c1 cdot 0 + c2 cdot 1 + c3 cdot 2 = 0 c1 cdot 1 + c2 cdot 0 + c3 cdot 2 = 0
Isso resulta no sistema:
c1 + c3 = 0 c2 + 2c3 = 0 c1 + 2c3 = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, temos - c3 + 2c3 = 0 Rightarrow c3 = 0 . Substituindo na terceira equação:
Com , da primeira equação, . E da segunda equação, .

Passo 5

Como a única solução para o sistema é , isso significa que os vetores não têm nenhuma combinação não trivial que resulta no vetor zero.

Resposta

O conjunto é linearmente independente.

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