Determine se os conjuntos de vetores abaixo são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Justifique.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se o conjunto de vetores é linearmente dependente ou independente. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre combinações lineares e independência linear. Vamos precisar montar um sistema de equações para verificar se só a solução trivial existe.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem linearmente independentes. Isso quer dizer que a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se só tem solução .
Passo 3
Vamos montar as equações a partir da combinação linear:
Isso resulta no sistema:
c1 + c3 = 0 c2 + 2c3 = 0 c1 + 2c3 = 0
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, temos - c3 + 2c3 = 0 Rightarrow c3 = 0 . Substituindo na terceira equação:
Com , da primeira equação, . E da segunda equação, .
Passo 5
Como a única solução para o sistema é , isso significa que os vetores não têm nenhuma combinação não trivial que resulta no vetor zero.