Considere um conjunto gerador de um espaço vetorial .
Se eliminarmos um dos vetores, por exemplo, do conjunto, ainda teremos um conjunto gerador de V? Explique.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores que é um conjunto gerador do espaço vetorial . Ou seja, qualquer vetor em pode ser formado por uma combinação linear desses vetores. A pergunta é: se tirarmos um desses vetores, por exemplo, , o conjunto ainda será gerador? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser gerador e como a remoção de um vetor pode afetar essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto gerador. Um conjunto de vetores é chamado de gerador de um espaço vetorial se qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, para qualquer vetor , existe escalares tais que:

Passo 3

Agora, vamos pensar no que acontece se removemos um vetor, digamos . O novo conjunto será . A pergunta é: com esse novo conjunto, ainda conseguimos representar todos os vetores de ?

Passo 4

A resposta depende de se o vetor removido, , pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores do conjunto. Se for possível expressar usando os outros vetores, então a remoção de não afeta a capacidade do conjunto de gerar . Isso porque já está “contido” na combinação dos demais vetores.

Passo 5

Porém, se não pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores, ou seja, se for um vetor “independente”, então sua remoção significa que perdemos a capacidade de gerar alguns vetores em . Nesse caso, o conjunto sem deixa de ser gerador.

Resposta

Então, ao remover um vetor do conjunto gerador , o conjunto ainda será gerador de se e somente se puder ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Caso contrário, o conjunto deixará de ser gerador.

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