Considere v1, v2, v3, ldots, vn um conjunto gerador de um espaço vetorial V.
Se eliminarmos um dos vetores, por exemplo, vk do conjunto, ainda teremos um conjunto gerador de V? Explique.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores v1, v2, v3, ldots, vn que é um conjunto gerador do espaço vetorial V. Ou seja, qualquer vetor em V pode ser formado por uma combinação linear desses vetores. A pergunta é: se tirarmos um desses vetores, por exemplo, vk, o conjunto ainda será gerador? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser gerador e como a remoção de um vetor pode afetar essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto gerador. Um conjunto de vetores é chamado de gerador de um espaço vetorial V se qualquer vetor em V pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, para qualquer vetor v in V, existe escalares a1, a2, ldots, an tais que:
v = a1v1 + a2v2 + ldots + anvn

Passo 3

Agora, vamos pensar no que acontece se removemos um vetor, digamos vk. O novo conjunto será v1, v2, ldots, vk-1, vk+1, ldots, vn. A pergunta é: com esse novo conjunto, ainda conseguimos representar todos os vetores de V?

Passo 4

A resposta depende de se o vetor removido, vk, pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores do conjunto. Se for possível expressar vk usando os outros vetores, então a remoção de vk não afeta a capacidade do conjunto de gerar V. Isso porque vk já está “contido” na combinação dos demais vetores.

Passo 5

Porém, se vk não pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores, ou seja, se vk for um vetor “independente”, então sua remoção significa que perdemos a capacidade de gerar alguns vetores em V. Nesse caso, o conjunto sem vk deixa de ser gerador.

Resposta

Então, ao remover um vetor vk do conjunto gerador v1, v2, ldots, vn, o conjunto ainda será gerador de V se e somente se vk puder ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Caso contrário, o conjunto deixará de ser gerador.

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