Considere
um conjunto gerador de um espaço vetorial
.
Se eliminarmos um dos vetores, por exemplo,
do conjunto, ainda teremos um conjunto gerador de V? Explique.
Se eliminarmos um dos vetores, por exemplo,
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores
que é um conjunto gerador do espaço vetorial
. Ou seja, qualquer vetor em
pode ser formado por uma combinação linear desses vetores. A pergunta é: se tirarmos um desses vetores, por exemplo,
, o conjunto ainda será gerador? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser gerador e como a remoção de um vetor pode afetar essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto gerador. Um conjunto de vetores é chamado de gerador de um espaço vetorial
se qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, para qualquer vetor
, existe escalares
tais que:
Passo 3
Agora, vamos pensar no que acontece se removemos um vetor, digamos
. O novo conjunto será
. A pergunta é: com esse novo conjunto, ainda conseguimos representar todos os vetores de
?
Passo 4
A resposta depende de se o vetor removido,
, pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores do conjunto. Se for possível expressar
usando os outros vetores, então a remoção de
não afeta a capacidade do conjunto de gerar
. Isso porque
já está “contido” na combinação dos demais vetores.
Passo 5
Porém, se
não pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores, ou seja, se
for um vetor “independente”, então sua remoção significa que perdemos a capacidade de gerar alguns vetores em
. Nesse caso, o conjunto sem
deixa de ser gerador.
Resposta
Então, ao remover um vetor
do conjunto gerador
, o conjunto ainda será gerador de
se e somente se
puder ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Caso contrário, o conjunto deixará de ser gerador.
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