Encontre uma equação da elípse com focos nos vértices da hipérbole
e vértices nos focos dessa hipérbole.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a equação de uma elipse que tem seus focos nos vértices de uma hipérbole específica. A hipérbole dada é:
Então, vamos precisar entender um pouco sobre as propriedades de hipérboles e elipses para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação da hipérbole que foi fornecida. A forma geral de uma hipérbole vertical é:
Aqui, é a distância do centro aos vértices na direção y, e está relacionado à “abertura” da hipérbole. No nosso caso, e .

Passo 3

Para encontrar os focos da hipérbole, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Então, os focos da hipérbole estão em .

Passo 4

Agora, queremos uma elipse que tem seus focos nos vértices da hipérbole e seus vértices nos focos da hipérbole. Ou seja:
  • Focos da elipse:
  • Vértices da elipse:

Passo 5

A fórmula geral de uma elipse vertical centrada na origem é:
Aqui, é a distância do centro aos vértices na direção y, está relacionado à “largura” da elipse, e é a distância do centro aos focos, com:

Passo 6

Sabemos que para a elipse:
  • (pois os vértices estão em )
  • (pois os focos estão em )
Vamos usar a fórmula para encontrar :
Então, .

Passo 7

Agora que temos e , substituímos esses valores na equação da elipse:

Resposta

A equação da elipse é

Exercícios relacionados

Considere um conjunto gerador de um espaço vetorial .
Se eliminarmos um dos vetores, por exemplo, do conjunto, ainda teremos um conjunto gerador de V? Explique.
Encontre uma equação da elípse com focos e , e eixo menor igual a 6. Encontre também os vértices e as equaçōes paramétricas dessa elípse.
Seja o conjunto dos polinômios na variável com coeficientes em . Seja o conjunto formado pelos polinômios com termo constante nulo. Prove que é um ideal de e que .
Esbogar o gráfico e obter uma equação da parábola de modo que o foco seja e tendo a reta diretriz .