Encontre uma equação da elípse com focos nos vértices da hipérbole
y^24^2-x^23^2=1 ,
e vértices nos focos dessa hipérbole.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a equação de uma elipse que tem seus focos nos vértices de uma hipérbole específica. A hipérbole dada é:
y^24^2 - x^23^2 = 1
Então, vamos precisar entender um pouco sobre as propriedades de hipérboles e elipses para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação da hipérbole que foi fornecida. A forma geral de uma hipérbole vertical é:
y^2a^2 - x^2b^2 = 1
Aqui, é a distância do centro aos vértices na direção y, e está relacionado à “abertura” da hipérbole. No nosso caso, e .

Passo 3

Para encontrar os focos da hipérbole, usamos a fórmula:
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo os valores:
c^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 Rightarrow c = 5
Então, os focos da hipérbole estão em .

Passo 4

Agora, queremos uma elipse que tem seus focos nos vértices da hipérbole e seus vértices nos focos da hipérbole. Ou seja:
  • Focos da elipse:
  • Vértices da elipse:

Passo 5

A fórmula geral de uma elipse vertical centrada na origem é:
y^2A^2 + x^2B^2 = 1
Aqui, c^2 = A^2 - B^2 é a distância do centro aos vértices na direção y, está relacionado à “largura” da elipse, e é a distância do centro aos focos, com:

Passo 6

Sabemos que para a elipse:
  • c^2 = A^2 - B^2 Rightarrow 4^2 = 5^2 - B^2 Rightarrow 16 = 25 - B^2 Rightarrow B^2 = 25 - 16 = 9 (pois os vértices estão em )
  • (pois os focos estão em )
Vamos usar a fórmula para encontrar :
Então, .

Passo 7

Agora que temos y^25^2 + x^23^2 = 1 Rightarrow y^225 + x^29 = 1 e , substituímos esses valores na equação da elipse:

Resposta

A equação da elipse é
y^225 + x^29 = 1

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