Encontre uma equação da elípse com focos nos vértices da hipérbole
e vértices nos focos dessa hipérbole.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a equação de uma elipse que tem seus focos nos vértices de uma hipérbole específica. A hipérbole dada é:
Então, vamos precisar entender um pouco sobre as propriedades de hipérboles e elipses para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação da hipérbole que foi fornecida. A forma geral de uma hipérbole vertical é:
Aqui,
é a distância do centro aos vértices na direção y, e
está relacionado à “abertura” da hipérbole. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Para encontrar os focos da hipérbole, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Então, os focos da hipérbole estão em
.
Passo 4
Agora, queremos uma elipse que tem seus focos nos vértices da hipérbole e seus vértices nos focos da hipérbole. Ou seja:
- Focos da elipse:
- Vértices da elipse:
Passo 5
A fórmula geral de uma elipse vertical centrada na origem é:
Aqui,
é a distância do centro aos vértices na direção y,
está relacionado à “largura” da elipse, e
é a distância do centro aos focos, com:
Passo 6
Sabemos que para a elipse:
-
(pois os vértices estão em ) -
(pois os focos estão em )
Vamos usar a fórmula para encontrar
:
Então,
.
Passo 7
Agora que temos
e
, substituímos esses valores na equação da elipse:
Resposta
A equação da elipse é