Seja
o conjunto dos polinômios na variável
com coeficientes em
. Seja
o conjunto formado pelos polinômios com termo constante nulo. Prove que
é um ideal de
e que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que o conjunto
, que contém todos os polinômios de
sem termo constante, é um ideal e que esse ideal é gerado por
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal em um anel e como gerar um ideal a partir de um elemento. Vamos dar uma olhada nisso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal. Em um anel
, um subconjunto
é chamado de ideal se satisfaz três condições:
-
. - Se
, então (fechamento pela adição). - Se
e , então (fechamento pela multiplicação por qualquer elemento do anel).
Vamos verificar essas condições para o conjunto
.
Passo 3
Primeiro, vemos que o polinômio zero está em
porque ele não tem termo constante. Então,
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é fechado pela adição. Se pegarmos dois polinômios em
, digamos
e
, ambos sem termo constante, então
tamb��m não terá termo constante. Logo,
.
Passo 5
Em seguida, precisamos ver se
é fechado pela multiplicação por qualquer polinômio de
. Seja
e
. Quando multiplicamos
por
, o termo constante de
será o produto do termo constante de
com o termo constante de
. Mas como
não tem termo constante (é zero), o resultado também não terá termo constante. Assim,
.
Passo 6
Com isso, mostramos que
satisfaz todas as condições para ser um ideal de
.
Passo 7
Agora, vamos provar que
é gerado por
, ou seja,
. O ideal
consiste em todos os múltiplos de
por polinômios de
. Ou seja,
.
Passo 8
Primeiro, vamos mostrar que
. Qualquer múltiplo de
, isto é,
, não terá termo constante porque o menor grau de
é 1. Portanto,
, o que significa que
.
Passo 9
Agora, vamos mostrar que
. Qualquer polinômio em
pode ser escrito como
. Isso pode ser fatorado como
, ou seja,
multiplicado por outro polinômio de
. Logo, qualquer elemento de
está em
, então
.
Passo 10
Como mostramos que
e
, podemos concluir que
.
Resposta
Portanto,
é um ideal de
e
.
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.
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.
Seja
e
é par
. Prove que
é um subanel de
mas não um ideal de
.