Seja o conjunto dos polinômios na variável com coeficientes em . Seja o conjunto formado pelos polinômios com termo constante nulo. Prove que é um ideal de e que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que o conjunto , que contém todos os polinômios de sem termo constante, é um ideal e que esse ideal é gerado por , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal em um anel e como gerar um ideal a partir de um elemento. Vamos dar uma olhada nisso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal. Em um anel , um subconjunto é chamado de ideal se satisfaz três condições:
  1. .
  2. Se , então (fechamento pela adição).
  3. Se e , então (fechamento pela multiplicação por qualquer elemento do anel).
Vamos verificar essas condições para o conjunto .

Passo 3

Primeiro, vemos que o polinômio zero está em porque ele não tem termo constante. Então, .

Passo 4

Agora, vamos verificar se é fechado pela adição. Se pegarmos dois polinômios em , digamos e , ambos sem termo constante, então tamb��m não terá termo constante. Logo, .

Passo 5

Em seguida, precisamos ver se é fechado pela multiplicação por qualquer polinômio de . Seja e . Quando multiplicamos por , o termo constante de será o produto do termo constante de com o termo constante de . Mas como não tem termo constante (é zero), o resultado também não terá termo constante. Assim, .

Passo 6

Com isso, mostramos que satisfaz todas as condições para ser um ideal de .

Passo 7

Agora, vamos provar que é gerado por , ou seja, . O ideal consiste em todos os múltiplos de por polinômios de . Ou seja, .

Passo 8

Primeiro, vamos mostrar que . Qualquer múltiplo de , isto é, , não terá termo constante porque o menor grau de é 1. Portanto, , o que significa que .

Passo 9

Agora, vamos mostrar que . Qualquer polinômio em pode ser escrito como . Isso pode ser fatorado como , ou seja, multiplicado por outro polinômio de . Logo, qualquer elemento de está em , então .

Passo 10

Como mostramos que e , podemos concluir que .

Resposta

Portanto, é um ideal de e .

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