Encontre uma equação da elípse com focos
e
, e eixo menor igual a 6. Encontre também os vértices e as equaçōes paramétricas dessa elípse.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica sobre elipses. A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem os focos em
e
, além de saber que o comprimento do eixo menor é 6. Também vamos descobrir os vértices dessa elipse e as suas equações paramétricas. Para isso, vamos usar conceitos básicos de elipses, como a localização dos focos, os eixos maior e menor, e as fórmulas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. O centro fica no ponto médio entre os dois focos. Então, vamos calcular as coordenadas do centro
:
Passo 3
Agora, precisamos determinar a distância entre os dois focos para encontrar o valor de
, onde
é a distância do centro até cada foco. A distância entre os focos
e
é:
Então,
.
Passo 4
Sabemos que o eixo menor tem comprimento 6, ou seja,
, o que nos dá
.
Passo 5
Em uma elipse, a relação entre
,
e
é dada por:
Já temos
e
, então:
Passo 6
Com
e
, já temos os valores necessários para montar a equação da elipse. Como os focos estão alinhados horizontalmente, o eixo maior é paralelo ao eixo
. A equação padrão da elipse com centro em
e eixo maior paralelo ao
é:
Substituindo
,
,
e
, temos:
Passo 7
Agora, vamos encontrar os vértices da elipse. Os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo maior. Então, eles são:
Passo 8
Por fim, vamos escrever as equações paramétricas da elipse. As equações paramétricas para uma elipse com centro em
, eixo maior paralelo ao
e ângulo paramétrico
são:
Substituindo
,
,
e
, temos:
Resposta
A equação da elipse é:
Os vértices da elipse são
e
.
As equações paramétricas da elipse são: