Encontre uma equação da elípse com focos (-7,2) e ( 1,2 ), e eixo menor igual a 6. Encontre também os vértices e as equaçōes paramétricas dessa elípse.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica sobre elipses. A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem os focos em (-7,2) e (1,2), além de saber que o comprimento do eixo menor é 6. Também vamos descobrir os vértices dessa elipse e as suas equações paramétricas. Para isso, vamos usar conceitos básicos de elipses, como a localização dos focos, os eixos maior e menor, e as fórmulas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. O centro fica no ponto médio entre os dois focos. Então, vamos calcular as coordenadas do centro C:
C( -7 + 12, 2 + 22 ) = C( -62, 42 ) = C(-3, 2)

Passo 3

Agora, precisamos determinar a distância entre os dois focos para encontrar o valor de 2c, onde c é a distância do centro até cada foco. A distância entre os focos (-7,2) e (1,2) é:
2c = raiz(1 - (-7))^2 + (2 - 2)^2 = raiz8^2 + 0^2 = 8
Então, c = 4.

Passo 4

Sabemos que o eixo menor tem comprimento 6, ou seja, 2b = 6, o que nos dá b = 3.

Passo 5

Em uma elipse, a relação entre a, b e c é dada por:
c^2 = a^2 - b^2
Já temos c = 4 e b = 3, então:
4^2 = a^2 - 3^2 16 = a^2 - 9 a^2 = 25 a = 5

Passo 6

Com a = 5 e b = 3, já temos os valores necessários para montar a equação da elipse. Como os focos estão alinhados horizontalmente, o eixo maior é paralelo ao eixo x. A equação padrão da elipse com centro em (h, k) e eixo maior paralelo ao x é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Substituindo h = -3, k = 2, a = 5 e b = 3, temos:
(x + 3)^225 + (y - 2)^29 = 1

Passo 7

Agora, vamos encontrar os vértices da elipse. Os vértices estão a uma distância a do centro ao longo do eixo maior. Então, eles são:
V1 = (-3 - 5, 2) = (-8, 2) V2 = (-3 + 5, 2) = (2, 2)

Passo 8

Por fim, vamos escrever as equações paramétricas da elipse. As equações paramétricas para uma elipse com centro em (h, k), eixo maior paralelo ao x e ângulo paramétrico theta são:
x = h + a cos(theta) y = k + b sin(theta)
Substituindo h = -3, k = 2, a = 5 e b = 3, temos:
x = -3 + 5 cos(theta) y = 2 + 3 sin(theta)

Resposta

A equação da elipse é:
(x + 3)^225 + (y - 2)^29 = 1
Os vértices da elipse são (-8, 2) e (2, 2).
As equações paramétricas da elipse são:
x = -3 + 5 cos(theta) y = 2 + 3 sin(theta)

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