Encontre uma equação da elípse com focos e , e eixo menor igual a 6. Encontre também os vértices e as equaçōes paramétricas dessa elípse.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica sobre elipses. A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem os focos em e , além de saber que o comprimento do eixo menor é 6. Também vamos descobrir os vértices dessa elipse e as suas equações paramétricas. Para isso, vamos usar conceitos básicos de elipses, como a localização dos focos, os eixos maior e menor, e as fórmulas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. O centro fica no ponto médio entre os dois focos. Então, vamos calcular as coordenadas do centro :

Passo 3

Agora, precisamos determinar a distância entre os dois focos para encontrar o valor de , onde é a distância do centro até cada foco. A distância entre os focos e é:
Então, .

Passo 4

Sabemos que o eixo menor tem comprimento 6, ou seja, , o que nos dá .

Passo 5

Em uma elipse, a relação entre , e é dada por:
Já temos e , então:

Passo 6

Com e , já temos os valores necessários para montar a equação da elipse. Como os focos estão alinhados horizontalmente, o eixo maior é paralelo ao eixo . A equação padrão da elipse com centro em e eixo maior paralelo ao é:
Substituindo , , e , temos:

Passo 7

Agora, vamos encontrar os vértices da elipse. Os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo maior. Então, eles são:

Passo 8

Por fim, vamos escrever as equações paramétricas da elipse. As equações paramétricas para uma elipse com centro em , eixo maior paralelo ao e ângulo paramétrico são:
Substituindo , , e , temos:

Resposta

A equação da elipse é:
Os vértices da elipse são e .
As equações paramétricas da elipse são:

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