Encontre uma equação da elípse com focos
e
, e eixo menor igual a 6. Encontre também os vértices e as equaçōes paramétricas dessa elípse.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica sobre elipses. A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem os focos em
e
, além de saber que o comprimento do eixo menor é 6. Também vamos descobrir os vértices dessa elipse e as suas equações paramétricas. Para isso, vamos usar conceitos básicos de elipses, como a localização dos focos, os eixos maior e menor, e as fórmulas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. O centro fica no ponto médio entre os dois focos. Então, vamos calcular as coordenadas do centro
:
Passo 3
Agora, precisamos determinar a distância entre os dois focos para encontrar o valor de
, onde
é a distância do centro até cada foco. A distância entre os focos
e
é:
Então,
.
Passo 4
Sabemos que o eixo menor tem comprimento 6, ou seja,
, o que nos dá
.
Passo 5
Em uma elipse, a relação entre
,
e
é dada por:
Já temos
e
, então:
Passo 6
Com
e
, já temos os valores necessários para montar a equação da elipse. Como os focos estão alinhados horizontalmente, o eixo maior é paralelo ao eixo
. A equação padrão da elipse com centro em
e eixo maior paralelo ao
é:
Substituindo
,
,
e
, temos:
Passo 7
Agora, vamos encontrar os vértices da elipse. Os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo maior. Então, eles são:
Passo 8
Por fim, vamos escrever as equações paramétricas da elipse. As equações paramétricas para uma elipse com centro em
, eixo maior paralelo ao
e ângulo paramétrico
são:
Substituindo
,
,
e
, temos:
Resposta
A equação da elipse é:
Os vértices da elipse são
e
.
As equações paramétricas da elipse são:
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Considere
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.
Se eliminarmos um dos vetores, por exemplo, do conjunto, ainda teremos um conjunto gerador de V? Explique.
Se eliminarmos um dos vetores, por exemplo,
Encontre uma equação da elípse com focos nos vértices da hipérbole
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