Considere os vetores
Mostre que e formam uma base para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos três vetores no plano: , e . A tarefa é mostrar que e formam uma base para .
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de base e independência linear. Uma base para é um conjunto de dois vetores que são linearmente independentes, ou seja, nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se e são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a equação é e .
Escrevendo isso de forma mais clara:
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos expressar em termos de :
Agora substituímos na primeira equação:
E, consequentemente, .

Passo 4

Como a única solução é e , isso significa que e são linearmente independentes. Portanto, eles formam uma base para .

Resposta

Os vetores e são uma base para porque são linearmente independentes.

Exercícios relacionados

Seja um anel com 1. Se é um ideal de e um elemento inversível de tal que , prove que .
Considere um conjunto gerador de um espaço vetorial .
Se adicionarmos outro vetor ao conjunto, ainda teremos um conjunto gerador de V? Explique.
Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(b)
Seja o anel de polinômios com coeficientes em (aqui todos os coeficientes são 0 ou 1 e a soma e o produto entre eles é feita módulo 2 ). Prove que é um corpo.