Considere os vetores v1=(2,1), v2=(4,3), v3=(7,-3)
Mostre que v1 e v2 formam uma base para R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos três vetores no plano: , e . A tarefa é mostrar que e formam uma base para .
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de base e independência linear. Uma base para é um conjunto de dois vetores que são linearmente independentes, ou seja, nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a cdot (2,1) + b cdot (4,3) = (0,0) e 2a + 4b = 0 a + 3b = 0 são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a equação é e .
Escrevendo isso de forma mais clara:
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos expressar a = -3b em termos de 2(-3b) + 4b = 0 -6b + 4b = 0 -2b = 0 b = 0 :
Agora substituímos na primeira equação:
E, consequentemente, .

Passo 4

Como a única solução é e , isso significa que e são linearmente independentes. Portanto, eles formam uma base para .

Resposta

Os vetores e são uma base para porque são linearmente independentes.

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