Considere os vetores
Mostre que
e
formam uma base para
.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos três vetores no plano:
,
e
. A tarefa é mostrar que
e
formam uma base para
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de base e independência linear. Uma base para
é um conjunto de dois vetores que são linearmente independentes, ou seja, nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
e
são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a equação
é
e
.
Escrevendo isso de forma mais clara:
Isso resulta no sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos expressar
em termos de
:
Agora substituímos
na primeira equação:
E, consequentemente,
.
Passo 4
Como a única solução é
e
, isso significa que
e
são linearmente independentes. Portanto, eles formam uma base para
.
Resposta
Os vetores
e
são uma base para
porque são linearmente independentes.
Exercícios relacionados
Seja
um anel com 1. Se
é um ideal de
e
um elemento inversível de
tal que
, prove que
.
Considere
um conjunto gerador de um espaço vetorial
.
Se adicionarmos outro vetor ao conjunto, ainda teremos um conjunto gerador de V? Explique.
Se adicionarmos outro vetor
Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(b)
(b)
Seja
o anel de polinômios com coeficientes em
(aqui todos os coeficientes são 0 ou 1 e a soma e o produto entre eles é feita módulo 2 ). Prove que
é um corpo.