Considere v1, v2, v3, ldots, vn um conjunto LI em um espaço vetorial V.
Se adicionarmos outro vetor vk+1 ao conjunto, ainda teremos um conjunto LI? Explique.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de vetores v1, v2, v3, ldots, vn que é linearmente independente (LI) em um espaço vetorial V. A pergunta é: se a gente adicionar mais um vetor vk+1 a esse conjunto, esse novo conjunto ainda será linearmente independente? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é independência linear e como ela funciona quando adicionamos novos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se tivermos uma combinação c1v1 + c2v2 + ldots + cnvn = 0, então necessariamente c1 = c2 = ldots = cn = 0.

Passo 3

Agora, vamos pensar no que acontece quando adicionamos um novo vetor vk+1 ao conjunto original. Queremos saber se o novo conjunto v1, v2, v3, ldots, vn, vk+1 ainda é linearmente independente.

Passo 4

Para verificar isso, precisamos analisar se o novo vetor vk+1 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores já existentes no conjunto original. Se sim, isso significa que vk+1 está no “espaço gerado” pelos vetores originais, e portanto, o novo conjunto será linearmente dependente.

Passo 5

Por outro lado, se vk+1 não puder ser expresso como uma combinação linear dos vetores v1, v2, ldots, vn, então ele adiciona uma nova “direção” ao conjunto, mantendo assim a independência linear.

Passo 6

Então, a resposta depende de vk+1. Se ele for independente dos vetores originais, o conjunto expandido será LI. Se ele for dependente, o conjunto não será mais LI.

Resposta

Não necessariamente. Ao adicionar o vetor vk+1, o conjunto permanecerá linearmente independente somente se vk+1 não puder ser escrito como uma combinação linear dos vetores existentes. Caso contrário, o conjunto se torna linearmente dependente.

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