Considere
um conjunto LI em um espaço vetorial
.
Se adicionarmos outro vetor
ao conjunto, ainda teremos um conjunto LI? Explique.
Se adicionarmos outro vetor
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de vetores
que é linearmente independente (LI) em um espaço vetorial
. A pergunta é: se a gente adicionar mais um vetor
a esse conjunto, esse novo conjunto ainda será linearmente independente? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é independência linear e como ela funciona quando adicionamos novos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se tivermos uma combinação
, então necessariamente
.
Passo 3
Agora, vamos pensar no que acontece quando adicionamos um novo vetor
ao conjunto original. Queremos saber se o novo conjunto
ainda é linearmente independente.
Passo 4
Para verificar isso, precisamos analisar se o novo vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores já existentes no conjunto original. Se sim, isso significa que
está no “espaço gerado” pelos vetores originais, e portanto, o novo conjunto será linearmente dependente.
Passo 5
Por outro lado, se
não puder ser expresso como uma combinação linear dos vetores
, então ele adiciona uma nova “direção” ao conjunto, mantendo assim a independência linear.
Passo 6
Então, a resposta depende de
. Se ele for independente dos vetores originais, o conjunto expandido será LI. Se ele for dependente, o conjunto não será mais LI.
Resposta
Não necessariamente. Ao adicionar o vetor
, o conjunto permanecerá linearmente independente somente se
não puder ser escrito como uma combinação linear dos vetores existentes. Caso contrário, o conjunto se torna linearmente dependente.