Identifique as seguintes superfícies de segundo grau:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar que tipo de superfície de segundo grau a equação
representa. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para resolver isso. Precisamos reorganizar a equação para descobrir se é um paraboloide, hiperbolóide, elipsoide, entre outros.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a equação agrupando os termos semelhantes. Observamos que temos termos com
,
,
e um termo misto
. Também há um termo linear
. Vamos organizar assim:
Passo 3
Agora, vamos focar nos termos que envolvem
e
:
. Para simplificar, podemos completar o quadrado nesses termos. Primeiro, fatoramos o
:
Mas completar o quadrado diretamente aqui fica complicado devido ao termo misto
. Então, vamos tentar uma mudança de variável para eliminar o termo misto.
Passo 4
Para eliminar o termo
, usamos uma rotação de coordenadas no plano
. Vamos definir novas coordenadas
e
de forma que a equação não tenha mais o termo
. A fórmula para isso envolve encontrar o ângulo de rotação
que satisfaz:
Onde
(coeficiente de
),
(coeficiente de
), e
(coeficiente de
).
Calculando:
Então,
e
.
Passo 5
Com o ângulo
, aplicamos as relações de rotação de coordenadas:
Substituindo na equação original e simplificando, eliminamos o termo
. Após os cálculos, a equação se torna:
Aqui,
e
serão novos coeficientes ajustados pela rotação.
Passo 6
Depois de eliminar o termo misto e simplificar a equação, identificamos os sinais dos coeficientes de
,
e
. Dependendo desses sinais, determinamos o tipo de superfície:
- Se todos os coeficientes forem do mesmo sinal: elipsoide.
- Dois coeficientes do mesmo sinal e um diferente: hiperbolóide de uma ou duas folhas.
- Um coeficiente zero: paraboloide.
No nosso caso, teremos coeficientes positivos e negativos, indicando que a superfície é um hiperbolóide.
Resposta
A superfície de segundo grau dada pela equação
é um hiperbolóide de uma folha.
Exercícios relacionados
Classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD:
Um radar detecta objetos que se aproximam dentro de uma região circular cujo centro está localizado no ponto
, Se o alcance do radar é de 15 km , qual é a equação da circunferência que delimita a área de cobertura desse radar?
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das anteriores
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das anteriores
Dado o vetor
, encontre todos os vetores
tais que a projeção ortogonal de
em
seja
.
Considere
um conjunto LI em um espaço vetorial
.
Se adicionarmos outro vetor ao conjunto, ainda teremos um conjunto LI? Explique.
Se adicionarmos outro vetor