Identifique as seguintes superfícies de segundo grau:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar que tipo de superfície de segundo grau a equação representa. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para resolver isso. Precisamos reorganizar a equação para descobrir se é um paraboloide, hiperbolóide, elipsoide, entre outros.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação agrupando os termos semelhantes. Observamos que temos termos com , , e um termo misto . Também há um termo linear . Vamos organizar assim:

Passo 3

Agora, vamos focar nos termos que envolvem e : . Para simplificar, podemos completar o quadrado nesses termos. Primeiro, fatoramos o :
Mas completar o quadrado diretamente aqui fica complicado devido ao termo misto . Então, vamos tentar uma mudança de variável para eliminar o termo misto.

Passo 4

Para eliminar o termo , usamos uma rotação de coordenadas no plano . Vamos definir novas coordenadas e de forma que a equação não tenha mais o termo . A fórmula para isso envolve encontrar o ângulo de rotação que satisfaz:
Onde (coeficiente de ), (coeficiente de ), e (coeficiente de ).
Calculando:
Então, e .

Passo 5

Com o ângulo , aplicamos as relações de rotação de coordenadas:
Substituindo na equação original e simplificando, eliminamos o termo . Após os cálculos, a equação se torna:
Aqui, e serão novos coeficientes ajustados pela rotação.

Passo 6

Depois de eliminar o termo misto e simplificar a equação, identificamos os sinais dos coeficientes de , e . Dependendo desses sinais, determinamos o tipo de superfície:
  • Se todos os coeficientes forem do mesmo sinal: elipsoide.
  • Dois coeficientes do mesmo sinal e um diferente: hiperbolóide de uma ou duas folhas.
  • Um coeficiente zero: paraboloide.
No nosso caso, teremos coeficientes positivos e negativos, indicando que a superfície é um hiperbolóide.

Resposta

A superfície de segundo grau dada pela equação é um hiperbolóide de uma folha.

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Classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD:
Um radar detecta objetos que se aproximam dentro de uma região circular cujo centro está localizado no ponto , Se o alcance do radar é de 15 km , qual é a equação da circunferência que delimita a área de cobertura desse radar?
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das anteriores
Dado o vetor , encontre todos os vetores tais que a projeção ortogonal de em seja .
Considere um conjunto LI em um espaço vetorial .
Se adicionarmos outro vetor ao conjunto, ainda teremos um conjunto LI? Explique.