Identifique as seguintes superfícies de segundo grau: x^2+2 y^2-z^2+2 x z+x=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar que tipo de superfície de segundo grau a equação representa. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para resolver isso. Precisamos reorganizar a equação para descobrir se é um paraboloide, hiperbolóide, elipsoide, entre outros.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação agrupando os termos semelhantes. Observamos que temos termos com x^2 + 2xz + x + 2y^2 - z^2 = 0 , , e um termo misto . Também há um termo linear . Vamos organizar assim:

Passo 3

Agora, vamos focar nos termos que envolvem x(x + 2z + 1) + 2y^2 - z^2 = 0 e : . Para simplificar, podemos completar o quadrado nesses termos. Primeiro, fatoramos o :
Mas completar o quadrado diretamente aqui fica complicado devido ao termo misto . Então, vamos tentar uma mudança de variável para eliminar o termo misto.

Passo 4

Para eliminar o termo tan(2theta) = 2CA - D , usamos uma rotação de coordenadas no plano tan(2theta) = 2 times 11 - (-1) = 22 = 1 . Vamos definir novas coordenadas e de forma que a equação não tenha mais o termo . A fórmula para isso envolve encontrar o ângulo de rotação que satisfaz:
Onde (coeficiente de ), (coeficiente de ), e (coeficiente de ).
Calculando:
Então, e .

Passo 5

Com o ângulo x = X cos theta - Z sin theta , aplicamos as relações de rotação de coordenadas:
z = X sin theta + Z cos theta
A'X^2 + B Y^2 + C'Z^2 + termos lineares = 0
Substituindo na equação original e simplificando, eliminamos o termo . Após os cálculos, a equação se torna:
Aqui, e serão novos coeficientes ajustados pela rotação.

Passo 6

Depois de eliminar o termo misto e simplificar a equação, identificamos os sinais dos coeficientes de , e . Dependendo desses sinais, determinamos o tipo de superfície:
  • Se todos os coeficientes forem do mesmo sinal: elipsoide.
  • Dois coeficientes do mesmo sinal e um diferente: hiperbolóide de uma ou duas folhas.
  • Um coeficiente zero: paraboloide.
No nosso caso, teremos coeficientes positivos e negativos, indicando que a superfície é um hiperbolóide.

Resposta

A superfície de segundo grau dada pela equação é um hiperbolóide de uma folha.

Exercícios relacionados