seja
. Mostre que (
.) é um anel.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
com as operações de adição e multiplicação forma um anel. Estamos trabalhando com Álgebra Abstrata, mais especificamente com a teoria dos anéis. Para resolver isso, precisamos verificar se
satisfaz as propriedades que definem um anel.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é um conjunto equipado com duas operações, geralmente chamadas de adição (+) e multiplicação (·), que satisfazem certas propriedades:
- Fechamento pela adição e multiplicação: A soma e o produto de quaisquer dois elementos do conjunto também pertencem ao conjunto.
- Associatividade da adição e da multiplicação: A ordem em que realizamos as operações não altera o resultado.
- Elemento neutro para a adição: Existe um elemento no conjunto que, quando adicionado a qualquer elemento, não altera o valor desse elemento.
- Existência de inversos aditivos: Para cada elemento, existe outro que somado a ele resulta no elemento neutro da adição.
- Distributividade: A multiplicação distribui sobre a adição.
Vamos verificar essas propriedades para
.
Passo 3
1. Fechamento pela adição:
Tomemos dois elementos quaisquer de
, digamos
e
, onde
.
A soma desses elementos é:
Como
também é um inteiro,
pertence a
. Logo, a adição é fechada em
.
2. Fechamento pela multiplicação:
Agora, multiplicamos os mesmos elementos:
Como
e
é um inteiro,
pertence a
. Portanto, a multiplicação também é fechada em
.
Passo 4
3. Associatividade da adição e da multiplicação:
A adição e a multiplicação de inteiros são associativas, ou seja:
Como
utiliza as operações de inteiros, essas propriedades também se mantêm em
.
4. Elemento neutro para a adição:
O elemento neutro para a adição em
é
, pois:
E
pertence a
quando
.
5. Existência de inversos aditivos:
Para cada
em
, existe
que também está em
, já que:
E
pertence a
.
Passo 5
6. Distributividade:
Precisamos mostrar que a multiplicação distribui sobre a adição:
Simplificando ambos os lados, vemos que a distributividade se mantém devido às propriedades distributivas dos inteiros.
Resposta
Assim, verificamos que
satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um anel. Portanto,
é de fato um anel.
Exercícios relacionados
Considere
um conjunto LI em um espaço vetorial
.
Se adicionarmos outro vetor ao conjunto, ainda teremos um conjunto LI? Explique.
Se adicionarmos outro vetor
Dado o vetor
, encontre todos os vetores
tais que a projeção ortogonal de
em
seja
.
Um satélite está em umá órbita elíptica ao redor da Terra. Sabendo que a equação da órbita é
e que a Terra está situada em um dos focos da elipse, calcule a distância do satélite ao centro da Terra no ponto mais próximo da órbita.
a) 40 unidades
b) 50 unidades
c) 60 unidades
d) 70 unidades
e) Nenhuma das anteriores
a) 40 unidades
b) 50 unidades
c) 60 unidades
d) 70 unidades
e) Nenhuma das anteriores
Mostre que o conjunto
, dado no exercício (1) é um anel com unidade.