seja
. Mostre que (
.) é um anel.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
com as operações de adição e multiplicação forma um anel. Estamos trabalhando com Álgebra Abstrata, mais especificamente com a teoria dos anéis. Para resolver isso, precisamos verificar se
satisfaz as propriedades que definem um anel.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é um conjunto equipado com duas operações, geralmente chamadas de adição (+) e multiplicação (·), que satisfazem certas propriedades:
- Fechamento pela adição e multiplicação: A soma e o produto de quaisquer dois elementos do conjunto também pertencem ao conjunto.
- Associatividade da adição e da multiplicação: A ordem em que realizamos as operações não altera o resultado.
- Elemento neutro para a adição: Existe um elemento no conjunto que, quando adicionado a qualquer elemento, não altera o valor desse elemento.
- Existência de inversos aditivos: Para cada elemento, existe outro que somado a ele resulta no elemento neutro da adição.
- Distributividade: A multiplicação distribui sobre a adição.
Vamos verificar essas propriedades para
.
Passo 3
1. Fechamento pela adição:
Tomemos dois elementos quaisquer de
, digamos
e
, onde
.
A soma desses elementos é:
Como
também é um inteiro,
pertence a
. Logo, a adição é fechada em
.
2. Fechamento pela multiplicação:
Agora, multiplicamos os mesmos elementos:
Como
e
é um inteiro,
pertence a
. Portanto, a multiplicação também é fechada em
.
Passo 4
3. Associatividade da adição e da multiplicação:
A adição e a multiplicação de inteiros são associativas, ou seja:
Como
utiliza as operações de inteiros, essas propriedades também se mantêm em
.
4. Elemento neutro para a adição:
O elemento neutro para a adição em
é
, pois:
E
pertence a
quando
.
5. Existência de inversos aditivos:
Para cada
em
, existe
que também está em
, já que:
E
pertence a
.
Passo 5
6. Distributividade:
Precisamos mostrar que a multiplicação distribui sobre a adição:
Simplificando ambos os lados, vemos que a distributividade se mantém devido às propriedades distributivas dos inteiros.
Resposta
Assim, verificamos que
satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um anel. Portanto,
é de fato um anel.