seja n Z=n a ; a in Z e n >= 0. Mostre que ( n Z,+.) é um anel.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto com as operações de adição e multiplicação forma um anel. Estamos trabalhando com Álgebra Abstrata, mais especificamente com a teoria dos anéis. Para resolver isso, precisamos verificar se satisfaz as propriedades que definem um anel.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é um conjunto equipado com duas operações, geralmente chamadas de adição (+) e multiplicação (·), que satisfazem certas propriedades:
  1. Fechamento pela adição e multiplicação: A soma e o produto de quaisquer dois elementos do conjunto também pertencem ao conjunto.
  2. Associatividade da adição e da multiplicação: A ordem em que realizamos as operações não altera o resultado.
  3. Elemento neutro para a adição: Existe um elemento no conjunto que, quando adicionado a qualquer elemento, não altera o valor desse elemento.
  4. Existência de inversos aditivos: Para cada elemento, existe outro que somado a ele resulta no elemento neutro da adição.
  5. Distributividade: A multiplicação distribui sobre a adição.
Vamos verificar essas propriedades para .

Passo 3

1. Fechamento pela adição:
Tomemos dois elementos quaisquer de n cdot a + n cdot b = n(a + b) , digamos (n cdot a) cdot (n cdot b) = n^2 cdot (a cdot b) e , onde .
A soma desses elementos é:
Como também é um inteiro, pertence a . Logo, a adição é fechada em .
2. Fechamento pela multiplicação:
Agora, multiplicamos os mesmos elementos:
Como e é um inteiro, pertence a . Portanto, a multiplicação também é fechada em .

Passo 4

3. Associatividade da adição e da multiplicação:
A adição e a multiplicação de inteiros são associativas, ou seja:
(a + b) + c = a + (b + c)
(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)
Como n cdot a + 0 = n cdot a utiliza as operações de inteiros, essas propriedades também se mantêm em n cdot a + (-n cdot a) = 0 .
4. Elemento neutro para a adição:
O elemento neutro para a adição em é , pois:
E pertence a quando .
5. Existência de inversos aditivos:
Para cada em , existe que também está em , já que:
E pertence a .

Passo 5

6. Distributividade:
Precisamos mostrar que a multiplicação distribui sobre a adição:
n cdot a cdot (n cdot b + n cdot c) = n cdot a cdot n cdot b + n cdot a cdot n cdot c
Simplificando ambos os lados, vemos que a distributividade se mantém devido às propriedades distributivas dos inteiros.

Resposta

Assim, verificamos que satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um anel. Portanto, é de fato um anel.

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