Dado o vetor
, encontre todos os vetores
tais que a projeção ortogonal de
em
seja
.
Passo 1
Entendendo o Problema e o Conteúdo Envolvido
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos o vetor
e queremos encontrar todos os vetores
para os quais a projeção ortogonal de
em
seja exatamente
.
Conteúdo da Matéria:
- Projeção Ortogonal de Vetores: A projeção de um vetor
sobre um vetor é a sombra de na direção de .
O Que Vamos Precisar:
- A fórmula da projeção ortogonal.
- Conhecimentos básicos de álgebra vetorial, como produto escalar e norma de um vetor.
Passo 2
Lembrando a Fórmula da Projeção Ortogonal
A projeção ortogonal de
em
é dada por:
Aqui,
-
é o produto escalar dos vetores. -
é a norma (ou módulo) de .
Passo 3
Aplicando a Fórmula com os Valores Dados
Queremos que
. Então, substituindo na fórmula:
Isso significa que o vetor resultante da projeção deve ser igual a
.
Passo 4
Observando a Direção dos Vetores
Note que a projeção
é sempre um múltiplo escalar de
. Portanto, o vetor
deve ser paralelo a
. Assim, podemos escrever:
onde
é um número real diferente de zero.
Passo 5
Substituindo
na Fórmula da Projeção
Substituindo
na fórmula da projeção:
Calculamos o produto escalar
:
E a norma de
:
Substituindo na fórmula da projeção:
Passo 6
Comparando com o Valor Desejado da Projeção
Queremos que a projeção seja
. No entanto, após os cálculos, obtemos:
Isso implica que:
O Que Isso Significa?
- As componentes correspondentes devem ser iguais, ou seja:
-
e
-
Verificando as Igualdades:
-
não é verdadeiro. -
também não é verdadeiro.
Isso indica que não existe nenhum valor de
que satisfaça as igualdades acima.
Resposta
Não existe nenhum vetor
que satisfaça a condição dada.
Exercícios relacionados
Identifique as seguintes superfícies de segundo grau:
Classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD:
Considere
um conjunto LI em um espaço vetorial
.
Se adicionarmos outro vetor ao conjunto, ainda teremos um conjunto LI? Explique.
Se adicionarmos outro vetor
seja
. Mostre que (
.) é um anel.