Dado o vetor u=(3,4), encontre todos os vetores v tais que a projeção ortogonal de u em v seja (2,-1).

Passo 1

Entendendo o Problema e o Conteúdo Envolvido
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos o vetor u = (3, 4) e queremos encontrar todos os vetores v para os quais a projeção ortogonal de u em v seja exatamente (2, -1).
Conteúdo da Matéria:
  • Projeção Ortogonal de Vetores: A projeção de um vetor u sobre um vetor v é a sombra de u na direção de v.
O Que Vamos Precisar:
  • A fórmula da projeção ortogonal.
  • Conhecimentos básicos de álgebra vetorial, como produto escalar e norma de um vetor.

Passo 2

Lembrando a Fórmula da Projeção Ortogonal
A projeção ortogonal de u em v é dada por:
projv u = ( u cdot v||v||^2 ) v
Aqui,
  • u cdot v é o produto escalar dos vetores.
  • ||v|| é a norma (ou módulo) de v.

Passo 3

Aplicando a Fórmula com os Valores Dados
Queremos que projv u = (2, -1). Então, substituindo na fórmula:
( u cdot v||v||^2 ) v = (2, -1)
Isso significa que o vetor resultante da projeção deve ser igual a (2, -1).

Passo 4

Observando a Direção dos Vetores
Note que a projeção projv u é sempre um múltiplo escalar de v. Portanto, o vetor (2, -1) deve ser paralelo a v. Assim, podemos escrever:
v = k cdot (2, -1)
onde k é um número real diferente de zero.

Passo 5

Substituindo v na Fórmula da Projeção
Substituindo v = k cdot (2, -1) na fórmula da projeção:
projv u = ( u cdot v||v||^2 ) v
Calculamos o produto escalar u cdot v:
u cdot v = 3 cdot 2k + 4 cdot (-k) = 6k - 4k = 2k
E a norma de v:
||v||^2 = (2k)^2 + (-k)^2 = 4k^2 + k^2 = 5k^2
Substituindo na fórmula da projeção:
projv u = ( 2k5k^2 ) cdot k cdot (2, -1) = ( 25k ) cdot k cdot (2, -1) = 25 cdot (2, -1) = ( 45, -25 )

Passo 6

Comparando com o Valor Desejado da Projeção
Queremos que a projeção seja (2, -1). No entanto, após os cálculos, obtemos:
projv u = ( 45, -25 )
Isso implica que:
( 45, -25 ) = (2, -1)
O Que Isso Significa?
  • As componentes correspondentes devem ser iguais, ou seja:
    • 45 = 2 e -25 = -1
Verificando as Igualdades:
  • 45 = 2 não é verdadeiro.
  • -25 = -1 também não é verdadeiro.
Isso indica que não existe nenhum valor de k que satisfaça as igualdades acima.

Resposta

Não existe nenhum vetor v que satisfaça a condição dada.

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