Dado o vetor , encontre todos os vetores tais que a projeção ortogonal de em seja .

Passo 1

Entendendo o Problema e o Conteúdo Envolvido
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos o vetor e queremos encontrar todos os vetores para os quais a projeção ortogonal de em seja exatamente .
Conteúdo da Matéria:
  • Projeção Ortogonal de Vetores: A projeção de um vetor sobre um vetor é a sombra de na direção de .
O Que Vamos Precisar:
  • A fórmula da projeção ortogonal.
  • Conhecimentos básicos de álgebra vetorial, como produto escalar e norma de um vetor.

Passo 2

Lembrando a Fórmula da Projeção Ortogonal
A projeção ortogonal de em é dada por:
Aqui,
  • é o produto escalar dos vetores.
  • é a norma (ou módulo) de .

Passo 3

Aplicando a Fórmula com os Valores Dados
Queremos que . Então, substituindo na fórmula:
Isso significa que o vetor resultante da projeção deve ser igual a .

Passo 4

Observando a Direção dos Vetores
Note que a projeção é sempre um múltiplo escalar de . Portanto, o vetor deve ser paralelo a . Assim, podemos escrever:
onde é um número real diferente de zero.

Passo 5

Substituindo na Fórmula da Projeção
Substituindo na fórmula da projeção:
Calculamos o produto escalar :
E a norma de :
Substituindo na fórmula da projeção:

Passo 6

Comparando com o Valor Desejado da Projeção
Queremos que a projeção seja . No entanto, após os cálculos, obtemos:
Isso implica que:
O Que Isso Significa?
  • As componentes correspondentes devem ser iguais, ou seja:
    • e
Verificando as Igualdades:
  • não é verdadeiro.
  • também não é verdadeiro.
Isso indica que não existe nenhum valor de que satisfaça as igualdades acima.

Resposta

Não existe nenhum vetor que satisfaça a condição dada.

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