Um satélite está em umá órbita elíptica ao redor da Terra. Sabendo que a equação da órbita é x^21600+y^26000=1 e que a Terra está situada em um dos focos da elipse, calcule a distância do satélite ao centro da Terra no ponto mais próximo da órbita.
a) 40 unidades
b) 50 unidades
c) 60 unidades
d) 70 unidades
e) Nenhuma das anteriores

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um satélite que está orbitando a Terra em uma trajetória elíptica. A equação da órbita é dada por . Sabemos também que a Terra está em um dos focos dessa elipse. Nosso objetivo é calcular a distância do satélite para a Terra no ponto mais próximo da órbita. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades de uma elipse e como identificar os pontos importantes nela.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação padrão de uma elipse, que é , onde:
  • é o semi-eixo maior (a maior distância do centro até a elipse).
  • é o semi-eixo menor (a menor distância do centro até a elipse).
No nosso caso, comparando com a equação dada:
  • então unidades.
  • então unidades.

Passo 3

Agora, precisamos descobrir onde está a Terra na elipse. Como a Terra está em um dos focos, precisamos encontrar a distância c = raizb^2 - a^2 dos focos ao centro da elipse. A relação entre c = raiz6000 - 1600 = raiz4400 approx 66,33 , e em uma elipse é:
Vamos calcular:
unidades.

Passo 4

O ponto mais próximo da órbita em relação à Terra (que está em um dos focos) é chamado de perigeu. A distância do perigeu até a Terra é dada por:
Peri>=u = b - c
Substituindo os valores que encontramos:
Peri>=u = 77,46 - 66,33 approx 11,13 unidades.

Resposta

e) Nenhuma das anteriores

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