Considere
e
vetores linearmente independentes em
um vetor também em
.
Descreva geometricamente
Descreva geometricamente
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores,
e
, que são linearmente independentes em
. A questão quer que a gente descreva geometricamente o conjunto
.
Aqui,
representa o conjunto de todas as combinações lineares desses dois vetores. Para resolver isso, precisamos lembrar de conceitos básicos de álgebra linear, como combinação linear e espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores são linearmente independentes. Isso quer dizer que nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. Em outras palavras, eles não estão “alinhados” na mesma direção.
Como
e
são linearmente independentes em
, eles não estão na mesma linha reta. Então, o que essas duas condições nos dizem sobre
?
Passo 3
O conjunto
é formado por todas as combinações lineares de
e
. Ou seja:
Isso significa que pegamos todos os possíveis múltiplos de
e
e os somamos de todas as maneiras possíveis.
Passo 4
Agora, vamos pensar geometricamente. Em
, se você tem dois vetores que não estão na mesma linha (ou seja, são linearmente independentes), todas as combinações lineares deles formam um plano que passa pela origem.
Imagine que você tem duas flechas no espaço que não estão na mesma direção. Se você começa na origem e combina essas flechas de todas as formas possíveis, você preenche um plano inteiro.
Resposta
Geometricamente,
é um plano em
que passa pela origem, formado pelas combinações lineares dos vetores
e
.
Exercícios relacionados
Mostre que
é um isomorfismo e determine a sua inversa.
ponto)
Considere os vetores
Qual é a dimensão de qual é a dimensão de ?
Qual é a dimensão de qual é a dimensão de
Consideremos o intervalo
e seja
o conjunto de todas as funções de
, isto é,
Para quaisquer
, as operações de adição e multiplicações de funções são definidas por
Mostre que estas operações
é um anel.
Determine escalares
tais que o operador linear
, tenha como imagem o subespaço
e como núcleo o subespaço
. (1 ponto)