Considere os vetores
Qual é a dimensão de qual é a dimensão de
?
Qual é a dimensão de qual é a dimensão de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem três vetores no espaço bidimensional, ou seja, cada vetor tem duas coordenadas:
,
e
. A pergunta é: qual é a dimensão do conjunto formado por esses vetores, representado por
?
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a dimensão de um conjunto de vetores. A dimensão é o número máximo de vetores que são linearmente independentes nesse conjunto. Se os vetores são lineares independentes, eles adicionam nova “direção” ao espaço que ocupam.
Passo 3
Vamos verificar se os vetores
,
e
são linearmente independentes. Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas:
Passo 4
Para saber se são linearmente independentes, a gente pode calcular o determinante dessa matriz. Mas como é uma matriz 2x3 (mais colunas que linhas), vamos verificar o posto da matriz, que é a maior quantidade de colunas linearmente independentes.
Passo 5
Vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz:
Primeiro, dividimos a primeira linha por 2:
Agora, subtraímos a primeira linha da segunda:
Passo 6
Como conseguimos reduzir a matriz para ter duas linhas não nulas, isso significa que há duas colunas linearmente independentes. Ou seja, mesmo tendo três vetores, apenas dois deles adicionam novas direções ao espaço.
Passo 7
Como o espaço onde os vetores estão é bidimensional (
), a dimensão máxima que podemos alcançar é 2. Portanto, independente de quantos vetores a gente tenha, a dimensão desse conjunto não pode ser maior que 2.
Resposta
A dimensão de
é 2.
Exercícios relacionados
Um espelho parabólico é modelado pela equação
. Se a distância focal do espelho é 3 metros, qual é a equação correspondente?
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das anteriores
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das anteriores
Mostre que o conjunto
, dado no exercício (1) é um anel com unidade.
Mostre que
é um isomorfismo e determine a sua inversa.
ponto)
Considere
e
vetores linearmente independentes em
um vetor também em
.
Descreva geometricamente
Descreva geometricamente