Considere os vetores
Qual é a dimensão de qual é a dimensão de ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem três vetores no espaço bidimensional, ou seja, cada vetor tem duas coordenadas: , e . A pergunta é: qual é a dimensão do conjunto formado por esses vetores, representado por ?

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a dimensão de um conjunto de vetores. A dimensão é o número máximo de vetores que são linearmente independentes nesse conjunto. Se os vetores são lineares independentes, eles adicionam nova “direção” ao espaço que ocupam.

Passo 3

Vamos verificar se os vetores , e são linearmente independentes. Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas:

Passo 4

Para saber se são linearmente independentes, a gente pode calcular o determinante dessa matriz. Mas como é uma matriz 2x3 (mais colunas que linhas), vamos verificar o posto da matriz, que é a maior quantidade de colunas linearmente independentes.

Passo 5

Vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz:
Primeiro, dividimos a primeira linha por 2:
Agora, subtraímos a primeira linha da segunda:

Passo 6

Como conseguimos reduzir a matriz para ter duas linhas não nulas, isso significa que há duas colunas linearmente independentes. Ou seja, mesmo tendo três vetores, apenas dois deles adicionam novas direções ao espaço.

Passo 7

Como o espaço onde os vetores estão é bidimensional ( ), a dimensão máxima que podemos alcançar é 2. Portanto, independente de quantos vetores a gente tenha, a dimensão desse conjunto não pode ser maior que 2.

Resposta

A dimensão de é 2.

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