Consideremos o intervalo e seja o conjunto de todas as funções de , isto é,
éçã
Para quaisquer , as operações de adição e multiplicações de funções são definidas por
Mostre que estas operações é um anel.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um intervalo e está considerando todas as funções que vão desse intervalo para os números reais, ou seja, . O exercício quer mostrar que, com as operações de adição e multiplicação definidas de forma pontual, forma um anel. Para resolver isso, vamos lembrar o que é um anel e verificar cada uma das propriedades que ele precisa ter.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é um conjunto equipado com duas operações: adição (+) e multiplicação (·). Para ser um anel, esse conjunto precisa satisfazer algumas propriedades:
  1. Fechamento da adição: A soma de duas funções no conjunto também está no conjunto.
  2. Associatividade da adição: A ordem em que somamos as funções não altera o resultado.
  3. Elemento neutro da adição: Existe uma função que, quando somada com qualquer outra função, não altera esta última.
  4. Inversos aditivos: Para cada função, existe outra que somada a ela resulta no elemento neutro da adição.
  5. Fechamento da multiplicação: A multiplicação de duas funções no conjunto também está no conjunto.
  6. Associatividade da multiplicação: A ordem em que multiplicamos as funções não altera o resultado.
  7. Distributividade: A multiplicação distribui sobre a adição de funções.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para .

Passo 3

1. Fechamento da adição: Se você pegar duas funções e em , a função também será uma função de para . Ou seja, a soma está dentro de .
2. Associatividade da adição: Para três funções em ,
Então, a adição é associativa.

Passo 4

3. Elemento neutro da adição: A função zero definida por para todo está em e serve como elemento neutro, pois
para qualquer função .
4. Inversos aditivos: Para cada função em , existe a função definida por que também está em , e
Portanto, cada função tem um inverso aditivo.

Passo 5

5. Fechamento da multiplicação: Se você multiplicar duas funções e em , a função também será uma função de para . Logo, a multiplicação está dentro de .
6. Associatividade da multiplicação: Para três funções em ,
Então, a multiplicação é associativa.

Passo 6

7. Distributividade: Para funções em ,
e
Isso mostra que a multiplicação distribui sobre a adição.

Resposta

Assim, verificamos que com as operações de adição e multiplicação definidas é um anel, pois satisfaz todas as propriedades necessárias.

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