Consideremos o intervalo
e seja
o conjunto de todas as funções de
, isto é,
Para quaisquer
, as operações de adição e multiplicações de funções são definidas por
Mostre que estas operações
é um anel.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um intervalo
e está considerando todas as funções que vão desse intervalo para os números reais, ou seja,
. O exercício quer mostrar que, com as operações de adição e multiplicação definidas de forma pontual,
forma um anel. Para resolver isso, vamos lembrar o que é um anel e verificar cada uma das propriedades que ele precisa ter.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é um conjunto equipado com duas operações: adição (+) e multiplicação (·). Para ser um anel, esse conjunto precisa satisfazer algumas propriedades:
- Fechamento da adição: A soma de duas funções no conjunto também está no conjunto.
- Associatividade da adição: A ordem em que somamos as funções não altera o resultado.
- Elemento neutro da adição: Existe uma função que, quando somada com qualquer outra função, não altera esta última.
- Inversos aditivos: Para cada função, existe outra que somada a ela resulta no elemento neutro da adição.
- Fechamento da multiplicação: A multiplicação de duas funções no conjunto também está no conjunto.
- Associatividade da multiplicação: A ordem em que multiplicamos as funções não altera o resultado.
- Distributividade: A multiplicação distribui sobre a adição de funções.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para
.
Passo 3
1. Fechamento da adição: Se você pegar duas funções
e
em
, a função
também será uma função de
para
. Ou seja, a soma está dentro de
.
2. Associatividade da adição: Para três funções
em
,
Então, a adição é associativa.
Passo 4
3. Elemento neutro da adição: A função zero
definida por
para todo
está em
e serve como elemento neutro, pois
para qualquer função
.
4. Inversos aditivos: Para cada função
em
, existe a função
definida por
que também está em
, e
Portanto, cada função tem um inverso aditivo.
Passo 5
5. Fechamento da multiplicação: Se você multiplicar duas funções
e
em
, a função
também será uma função de
para
. Logo, a multiplicação está dentro de
.
6. Associatividade da multiplicação: Para três funções
em
,
Então, a multiplicação é associativa.
Passo 6
7. Distributividade: Para funções
em
,
e
Isso mostra que a multiplicação distribui sobre a adição.
Resposta
Assim, verificamos que
com as operações de adição e multiplicação definidas é um anel, pois satisfaz todas as propriedades necessárias.
Exercícios relacionados
Considere
e
vetores linearmente independentes em
um vetor também em
.
Descreva geometricamente
Descreva geometricamente
Mostre que
é um isomorfismo e determine a sua inversa.
ponto)
Determine escalares
tais que o operador linear
, tenha como imagem o subespaço
e como núcleo o subespaço
. (1 ponto)
Encontre uma base para o subespaço
de
consistindo em todos os vetores da forma (a+b,
, b, c) , nos quais a, b, c e d são número reais. Qual a dimensão de S?