Consideremos o intervalo I=(-1,1) e seja F(I) o conjunto de todas as funções de I em R, isto é,
F(I)=f: I longrightarrow R tal que f é função éçã
Para quaisquer f, g in F(I), as operações de adição e multiplicações de funções são definidas por
c (f+g)(x)=f(x)+g(x), para todo x in I (f cdot g)(x)=f(x) cdot g(x), para todo x in I
Mostre que estas operações F(I) é um anel.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um intervalo e está considerando todas as funções que vão desse intervalo para os números reais, ou seja, . O exercício quer mostrar que, com as operações de adição e multiplicação definidas de forma pontual, forma um anel. Para resolver isso, vamos lembrar o que é um anel e verificar cada uma das propriedades que ele precisa ter.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é um conjunto equipado com duas operações: adição (+) e multiplicação (·). Para ser um anel, esse conjunto precisa satisfazer algumas propriedades:
  1. Fechamento da adição: A soma de duas funções no conjunto também está no conjunto.
  2. Associatividade da adição: A ordem em que somamos as funções não altera o resultado.
  3. Elemento neutro da adição: Existe uma função que, quando somada com qualquer outra função, não altera esta última.
  4. Inversos aditivos: Para cada função, existe outra que somada a ela resulta no elemento neutro da adição.
  5. Fechamento da multiplicação: A multiplicação de duas funções no conjunto também está no conjunto.
  6. Associatividade da multiplicação: A ordem em que multiplicamos as funções não altera o resultado.
  7. Distributividade: A multiplicação distribui sobre a adição de funções.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para .

Passo 3

1. Fechamento da adição: Se você pegar duas funções ((f + g) + h)(x) = (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = (f + (g + h))(x) e em , a função também será uma função de para . Ou seja, a soma está dentro de .
2. Associatividade da adição: Para três funções em ,
Então, a adição é associativa.

Passo 4

3. Elemento neutro da adição: A função zero (f + 0)(x) = f(x) + 0 = f(x) definida por (f + (-f))(x) = f(x) - f(x) = 0 para todo está em e serve como elemento neutro, pois
para qualquer função .
4. Inversos aditivos: Para cada função em , existe a função definida por que também está em , e
Portanto, cada função tem um inverso aditivo.

Passo 5

5. Fechamento da multiplicação: Se você multiplicar duas funções ((f cdot g) cdot h)(x) = (f(x) cdot g(x)) cdot h(x) = f(x) cdot (g(x) cdot h(x)) = (f cdot (g cdot h))(x) e em , a função também será uma função de para . Logo, a multiplicação está dentro de .
6. Associatividade da multiplicação: Para três funções em ,
Então, a multiplicação é associativa.

Passo 6

7. Distributividade: Para funções f cdot (g + h) = (f cdot g) + (f cdot h) em (g + h) cdot f = (g cdot f) + (h cdot f) ,
e
Isso mostra que a multiplicação distribui sobre a adição.

Resposta

Assim, verificamos que com as operações de adição e multiplicação definidas é um anel, pois satisfaz todas as propriedades necessárias.

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