Mostre que A: R^2 R^2, A(x, y)=(2 x, y-x) é um isomorfismo e determine a sua inversa. (0,5 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função , definida por , é um isomorfismo. Além disso, precisamos descobrir qual é a função inversa de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre isomorfismos e funções inversas de transformações lineares. Vamos precisar verificar se é linear, se é bijetora (injetora e sobrejetora) e depois encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo. Em álgebra linear, um isomorfismo entre dois espaços vetoriais é uma transformação linear que é bijetora. Ou seja, ela deve ser linear, injetora (cada entrada tem uma saída única) e sobrejetora (cobrir todo o espaço de saída). Vamos começar verificando se é linear.

Passo 3

Para A(u + v) = A(x1 + x2, y1 + y2) = (2(x1 + x2), (y1 + y2) - (x1 + x2)) = (2x1 + 2x2, y1 + y2 - x1 - x2) ser linear, ela precisa satisfazer duas propriedades:
  1. Aditividade: A(u) + A(v) = (2x1, y1 - x1) + (2x2, y2 - x2) = (2x1 + 2x2, y1 - x1 + y2 - x2)
  2. Homogeneidade: A(cu) = A(cx1, cy1) = (2(cx1), cy1 - cx1) = (2c x1, c(y1 - x1))
Vamos testar isso. Seja cA(u) = c(2x1, y1 - x1) = (2c x1, c(y1 - x1)) e .
Aditividade:
Viu que são iguais? Então, a aditividade tá ok.
Homogeneidade:
Novamente, estão iguais. Então, é linear.

Passo 4

Agora que sabemos que MA = 2 & 0 -1 & 1 é linear, precisamos checar se ela é bijetora. Para isso, vamos verificar se a matriz associada a det(MA) = (2)(1) - (0)(-1) = 2 é invertível. A matriz de é:
Para saber se é invertível, calculamos o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, isso significa que é invertível, e portanto é um isomorfismo (linear, injetora e sobrejetora).

Passo 5

Agora, vamos encontrar a inversa de MA^-1 = 1det(MA) 1 & 0 1 & 2 = 12 1 & 0 1 & 2 = 12 & 0 12 & 1 , ou seja, a transformação A^-1(u, v) = ( 12u, 12u + v ) tal que . Uma forma de achar a inversa é invertendo a matriz .
A matriz inversa é dada por:
Então, a transformação inversa é:

Resposta

A transformação é um isomorfismo e a sua inversa é .

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