Mostre que
é um isomorfismo e determine a sua inversa.
ponto)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função
, definida por
, é um isomorfismo. Além disso, precisamos descobrir qual é a função inversa de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre isomorfismos e funções inversas de transformações lineares. Vamos precisar verificar se
é linear, se é bijetora (injetora e sobrejetora) e depois encontrar a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo. Em álgebra linear, um isomorfismo entre dois espaços vetoriais é uma transformação linear que é bijetora. Ou seja, ela deve ser linear, injetora (cada entrada tem uma saída única) e sobrejetora (cobrir todo o espaço de saída). Vamos começar verificando se
é linear.
Passo 3
Para
ser linear, ela precisa satisfazer duas propriedades:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Vamos testar isso. Seja
e
.
Aditividade:
Viu que são iguais? Então, a aditividade tá ok.
Homogeneidade:
Novamente, estão iguais. Então,
é linear.
Passo 4
Agora que sabemos que
é linear, precisamos checar se ela é bijetora. Para isso, vamos verificar se a matriz associada a
é invertível. A matriz de
é:
Para saber se
é invertível, calculamos o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, isso significa que
é invertível, e portanto
é um isomorfismo (linear, injetora e sobrejetora).
Passo 5
Agora, vamos encontrar a inversa de
, ou seja, a transformação
tal que
. Uma forma de achar a inversa é invertendo a matriz
.
A matriz inversa
é dada por:
Então, a transformação inversa
é:
Resposta
A transformação
é um isomorfismo e a sua inversa é
.
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Qual é a dimensão de qual é a dimensão de ?
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Um espelho parabólico é modelado pela equação
. Se a distância focal do espelho é 3 metros, qual é a equação correspondente?
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das anteriores
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das anteriores
Considere
e
vetores linearmente independentes em
um vetor também em
.
Descreva geometricamente
Descreva geometricamente
Consideremos o intervalo
e seja
o conjunto de todas as funções de
, isto é,
Para quaisquer
, as operações de adição e multiplicações de funções são definidas por
Mostre que estas operações
é um anel.