Mostre que é um isomorfismo e determine a sua inversa. ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função , definida por , é um isomorfismo. Além disso, precisamos descobrir qual é a função inversa de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre isomorfismos e funções inversas de transformações lineares. Vamos precisar verificar se é linear, se é bijetora (injetora e sobrejetora) e depois encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo. Em álgebra linear, um isomorfismo entre dois espaços vetoriais é uma transformação linear que é bijetora. Ou seja, ela deve ser linear, injetora (cada entrada tem uma saída única) e sobrejetora (cobrir todo o espaço de saída). Vamos começar verificando se é linear.

Passo 3

Para ser linear, ela precisa satisfazer duas propriedades:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Vamos testar isso. Seja e .
Aditividade:
Viu que são iguais? Então, a aditividade tá ok.
Homogeneidade:
Novamente, estão iguais. Então, é linear.

Passo 4

Agora que sabemos que é linear, precisamos checar se ela é bijetora. Para isso, vamos verificar se a matriz associada a é invertível. A matriz de é:
Para saber se é invertível, calculamos o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, isso significa que é invertível, e portanto é um isomorfismo (linear, injetora e sobrejetora).

Passo 5

Agora, vamos encontrar a inversa de , ou seja, a transformação tal que . Uma forma de achar a inversa é invertendo a matriz .
A matriz inversa é dada por:
Então, a transformação inversa é:

Resposta

A transformação é um isomorfismo e a sua inversa é .

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