Determine escalares tais que o operador linear , tenha como imagem o subespaço e como núcleo o subespaço . (1 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para encontrar os valores dos escalares que definem um operador linear da forma . Esse operador precisa ter como imagem o subespaço e como núcleo o subespaço .
Vamos precisar entender como a imagem e o núcleo de um operador linear estão relacionados com os coeficientes da matriz que representa .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o núcleo do operador . O núcleo de , denotado por , é o conjunto de vetores tais que .
Então, temos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Sabemos que o núcleo é , ou seja, todos os vetores que satisfazem . Isso significa que qualquer vetor no n��cleo pode ser escrito como .
Para que esse seja o único núcleo, as equações acima devem ser múltiplas umas das outras, garantindo que a solução seja exatamente essa linha. Então, podemos relacionar os coeficientes de forma que:
Isso garante que as duas equações são proporcionais e definem o mesmo subespaço.

Passo 3

Agora, vamos analisar a imagem do operador . A imagem de , denotada por , é o conjunto de vetores para todos os .
A imagem deve ser o subespaço , ou seja, todos os vetores da forma para algum escalar .
Isso significa que qualquer vetor na imagem pode ser escrito como . Então, as colunas da matriz devem ser múltiplos de , garantindo que a imagem seja exatamente a linha .
Portanto, temos:

Passo 4

Vamos combinar as informações obtidas nos passos anteriores.
Sabemos que:
E também que:
Substituindo por e por na primeira igualdade, temos:
Isso é sempre verdadeiro, então não nos dá informação adicional. Portanto, temos liberdade para escolher valores para e , desde que não sejam ambos zero (para que o operador não seja trivial).

Passo 5

Vamos escolher valores simples para e . Por exemplo, podemos escolher e . Então:
Assim, a matriz do operador fica:

Resposta

Os escalares são , , e .

Exercícios relacionados

Consideremos o intervalo e seja o conjunto de todas as funções de , isto é,
éçã
Para quaisquer , as operações de adição e multiplicações de funções são definidas por
Mostre que estas operações é um anel.
Considere e vetores linearmente independentes em um vetor também em .
Descreva geometricamente
Encontre uma base para o subespaço de consistindo em todos os vetores da forma (a+b, , b, c) , nos quais a, b, c e d são número reais. Qual a dimensão de S?
e (.) operações em , definidas por
Mostre que é um anel comutativo.