Determine escalares
tais que o operador linear
, tenha como imagem o subespaço
e como núcleo o subespaço
. (1 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para encontrar os valores dos escalares
que definem um operador linear
da forma
. Esse operador precisa ter como imagem o subespaço
e como núcleo o subespaço
.
Vamos precisar entender como a imagem e o núcleo de um operador linear estão relacionados com os coeficientes
da matriz que representa
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o núcleo do operador
. O núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de vetores
tais que
.
Então, temos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Sabemos que o núcleo é
, ou seja, todos os vetores
que satisfazem
. Isso significa que qualquer vetor no n��cleo pode ser escrito como
.
Para que esse seja o único núcleo, as equações acima devem ser múltiplas umas das outras, garantindo que a solução seja exatamente essa linha. Então, podemos relacionar os coeficientes
de forma que:
Isso garante que as duas equações são proporcionais e definem o mesmo subespaço.
Passo 3
Agora, vamos analisar a imagem do operador
. A imagem de
, denotada por
, é o conjunto de vetores
para todos os
.
A imagem deve ser o subespaço
, ou seja, todos os vetores da forma
para algum escalar
.
Isso significa que qualquer vetor na imagem pode ser escrito como
. Então, as colunas da matriz
devem ser múltiplos de
, garantindo que a imagem seja exatamente a linha
.
Portanto, temos:
Passo 4
Vamos combinar as informações obtidas nos passos anteriores.
Sabemos que:
E também que:
Substituindo
por
e
por
na primeira igualdade, temos:
Isso é sempre verdadeiro, então não nos dá informação adicional. Portanto, temos liberdade para escolher valores para
e
, desde que não sejam ambos zero (para que o operador não seja trivial).
Passo 5
Vamos escolher valores simples para
e
. Por exemplo, podemos escolher
e
. Então:
Assim, a matriz do operador
fica:
Resposta
Os escalares são
,
,
e
.