Determine escalares tais que o operador linear , tenha como imagem o subespaço e como núcleo o subespaço . (1 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para encontrar os valores dos escalares que definem um operador linear da forma . Esse operador precisa ter como imagem o subespaço e como núcleo o subespaço .
Vamos precisar entender como a imagem e o núcleo de um operador linear estão relacionados com os coeficientes da matriz que representa .
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o núcleo do operador . O núcleo de , denotado por , é o conjunto de vetores tais que .
Então, temos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Sabemos que o núcleo é , ou seja, todos os vetores que satisfazem . Isso significa que qualquer vetor no n��cleo pode ser escrito como .
Para que esse seja o único núcleo, as equações acima devem ser múltiplas umas das outras, garantindo que a solução seja exatamente essa linha. Então, podemos relacionar os coeficientes de forma que:
Isso garante que as duas equações são proporcionais e definem o mesmo subespaço.
Passo 3
Agora, vamos analisar a imagem do operador . A imagem de , denotada por , é o conjunto de vetores para todos os .
A imagem deve ser o subespaço , ou seja, todos os vetores da forma para algum escalar .
Isso significa que qualquer vetor na imagem pode ser escrito como . Então, as colunas da matriz devem ser múltiplos de , garantindo que a imagem seja exatamente a linha .
Portanto, temos:
Passo 4
Vamos combinar as informações obtidas nos passos anteriores.
Sabemos que:
E também que:
Substituindo por e por na primeira igualdade, temos:
Isso é sempre verdadeiro, então não nos dá informação adicional. Portanto, temos liberdade para escolher valores para e , desde que não sejam ambos zero (para que o operador não seja trivial).
Passo 5
Vamos escolher valores simples para e . Por exemplo, podemos escolher e . Então: