Determine escalares a, b, c, d in R tais que o operador linear A: R^2 R^2, A(x, y)= (a x+b y, c x+d y), tenha como imagem o subespaço W1=(x, y) in R^2 ; x=y e como núcleo o subespaço W2=(x, y) in R^2 ; 2 x=y. (1 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para encontrar os valores dos escalares que definem um operador linear da forma . Esse operador precisa ter como imagem o subespaço e como núcleo o subespaço .
Vamos precisar entender como a imagem e o núcleo de um operador linear estão relacionados com os coeficientes da matriz que representa .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o núcleo do operador A(x, y) = (a x + b y, c x + d y) = (0, 0) . O núcleo de a x + b y = 0 c x + d y = 0 , denotado por ac = bd , é o conjunto de vetores tais que .
Então, temos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Sabemos que o núcleo é , ou seja, todos os vetores que satisfazem . Isso significa que qualquer vetor no n��cleo pode ser escrito como .
Para que esse seja o único núcleo, as equações acima devem ser múltiplas umas das outras, garantindo que a solução seja exatamente essa linha. Então, podemos relacionar os coeficientes de forma que:
Isso garante que as duas equações são proporcionais e definem o mesmo subespaço.

Passo 3

Agora, vamos analisar a imagem do operador a = b e c = d . A imagem de , denotada por , é o conjunto de vetores para todos os .
A imagem deve ser o subespaço , ou seja, todos os vetores da forma para algum escalar .
Isso significa que qualquer vetor na imagem pode ser escrito como . Então, as colunas da matriz devem ser múltiplos de , garantindo que a imagem seja exatamente a linha .
Portanto, temos:

Passo 4

Vamos combinar as informações obtidas nos passos anteriores.
Sabemos que:
ac = bd
E também que:
a = b e c = d
Substituindo ac = ac por e por na primeira igualdade, temos:
Isso é sempre verdadeiro, então não nos dá informação adicional. Portanto, temos liberdade para escolher valores para e , desde que não sejam ambos zero (para que o operador não seja trivial).

Passo 5

Vamos escolher valores simples para a = 1, b = a = 1, c = 2, d = c = 2 e A = 1 & 1 2 & 2 . Por exemplo, podemos escolher e . Então:
Assim, a matriz do operador fica:

Resposta

Os escalares são , , e .

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