Considere v1 e v2 vetores linearmente independentes em R^3 x um vetor também em R^3.
Se A=[llv1^T & v2^T] e b=A x (A é uma matriz), então qual a dimensão de [v1, v2, b] ? Explique.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que foi pedido aqui. Temos dois vetores, llv1^T & v2^T e , que são linearmente independentes no espaço tridimensional . Também temos outro vetor em . A matriz é formada pelos transpostos de e , ou seja, . Sabemos que , onde é um vetor. Queremos descobrir qual é a dimensão do conjunto formado por , e , representado por .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de independência linear, dimensão de conjuntos de vetores e como a matriz atua na transformação dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a matriz . Como e estão em , cada um deles é um vetor coluna com 3 componentes. O transposto desses vetores, e , são vetores linha com 3 componentes. Assim, a matriz fica com dimensão , ou seja, 3 linhas e 2 colunas.

Passo 3

Agora, a equação b = x1 v1 + x2 v2 nos diz que é uma combinação linear das colunas de . Como tem e como colunas, isso significa que é uma combinação linear de e . Em outras palavras, existe um vetor tal que:
Isso implica que está no espaço gerado por e .

Passo 4

Sabemos que e são linearmente independentes. Isso significa que eles formam uma base para um subespaço de dimensão 2 em . Como é uma combinação linear desses dois vetores, ele não acrescenta uma nova dimensão ao conjunto. Portanto, o conjunto ainda está contido no mesmo subespaço de dimensão 2.

Passo 5

Para confirmar, podemos pensar na matriz como uma matriz . O posto dessa matriz (ou seja, a dimensão do espaço gerado pelas suas colunas) será no máximo 2, já que e são independentes e é uma combinação deles.

Resposta

A dimensão de é igual a 2.

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