Considere
e
vetores linearmente independentes em
um vetor também em
.
Se
e
(A é uma matriz), então qual a dimensão de
? Explique.
Se
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que foi pedido aqui. Temos dois vetores,
e
, que são linearmente independentes no espaço tridimensional
. Também temos outro vetor
em
. A matriz
é formada pelos transpostos de
e
, ou seja,
. Sabemos que
, onde
é um vetor. Queremos descobrir qual é a dimensão do conjunto formado por
,
e
, representado por
.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de independência linear, dimensão de conjuntos de vetores e como a matriz
atua na transformação dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a matriz
. Como
e
estão em
, cada um deles é um vetor coluna com 3 componentes. O transposto desses vetores,
e
, são vetores linha com 3 componentes. Assim, a matriz
fica com dimensão
, ou seja, 3 linhas e 2 colunas.
Passo 3
Agora, a equação
nos diz que
é uma combinação linear das colunas de
. Como
tem
e
como colunas, isso significa que
é uma combinação linear de
e
. Em outras palavras, existe um vetor
tal que:
Isso implica que
está no espaço gerado por
e
.
Passo 4
Sabemos que
e
são linearmente independentes. Isso significa que eles formam uma base para um subespaço de dimensão 2 em
. Como
é uma combinação linear desses dois vetores, ele não acrescenta uma nova dimensão ao conjunto. Portanto, o conjunto
ainda está contido no mesmo subespaço de dimensão 2.
Passo 5
Para confirmar, podemos pensar na matriz
como uma matriz
. O posto dessa matriz (ou seja, a dimensão do espaço gerado pelas suas colunas) será no máximo 2, já que
e
são independentes e
é uma combinação deles.
Resposta
A dimensão de
é igual a 2.
Exercícios relacionados
Nos ítens abaixo, o vetor
está escrito na base
. Reescreva-o na base V
(d) ;
(d)
Scja
с
. Determine
e
.
Em
, prove que
é um ideal primo mas não é um ideal maximal.
Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
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