Em , prove que é um ideal primo mas não é um ideal maximal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com anéis, especificamente com o anel , que é basicamente o conjunto de pares de números inteiros. O que precisamos fazer é mostrar que o conjunto é um ideal primo, mas que ele não é um ideal maximal. Para isso, vamos precisar entender o que são ideais, ideais primos e ideais maximais dentro da teoria dos anéis.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é um ideal. Em um anel, um ideal é um subconjunto que é fechado sob adição e sob multiplicação por qualquer elemento do anel. No nosso caso, consiste em todos os pares onde o segundo componente é zero.

Passo 3

Agora, para mostrar que é um ideal, precisamos verificar duas coisas:
  1. Se e estão em , então sua soma também está em .
  2. Se multiplicarmos qualquer elemento do anel por , o resultado ainda estará em .
Vamos ver:
  1. .
  2. Para qualquer , .
Então, é realmente um ideal.

Passo 4

Agora, vamos ver se é um ideal primo. Um ideal é primo se, sempre que o produto de dois elementos está no ideal, pelo menos um dos elementos está no ideal. Formalmente, se , então ou ou .
Vamos analisar o produto:
significa que . No conjunto dos inteiros, isso só acontece se ou . Portanto, ou ou . Assim, é um ideal primo.

Passo 5

Agora, vamos verificar se é um ideal maximal. Um ideal é maximal se não houver nenhum outro ideal que o contenha, exceto o próprio anel. Para que seja maximal, o quociente deve ser um corpo.
Vamos calcular o quociente:
, já que estamos “eliminando” o primeiro componente. Mas não é um corpo porque nem todo elemento tem inverso multiplicativo. Portanto, não é um ideal maximal.

Resposta

Concluímos que é um ideal primo em , mas ele não é um ideal maximal.

Exercícios relacionados

Considere e vetores linearmente independentes em um vetor também em .
Se e (A é uma matriz), então qual a dimensão de ? Explique.
Nos ítens abaixo, o vetor está escrito na base . Reescreva-o na base V
(d) ;
Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
©
Seja . Prove que a função definida por
(a) Prove que é um homomorfismo.
(b) Determine .
© Prove que .
(d) é um ideal maximal?
(e) é um ideal primo?