Em Z oplus Z, prove que I=(a, 0): a in Z é um ideal primo mas não é um ideal maximal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com anéis, especificamente com o anel Z oplus Z, que é basicamente o conjunto de pares de números inteiros. O que precisamos fazer é mostrar que o conjunto I = (a, 0) : a in Z é um ideal primo, mas que ele não é um ideal maximal. Para isso, vamos precisar entender o que são ideais, ideais primos e ideais maximais dentro da teoria dos anéis.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é um ideal. Em um anel, um ideal é um subconjunto que é fechado sob adição e sob multiplicação por qualquer elemento do anel. No nosso caso, I consiste em todos os pares onde o segundo componente é zero.

Passo 3

Agora, para mostrar que I é um ideal, precisamos verificar duas coisas:
  1. Se (a, 0) e (b, 0) estão em I, então sua soma (a+b, 0) também está em I.
  2. Se multiplicarmos qualquer elemento do anel Z oplus Z por (a, 0), o resultado ainda estará em I.
Vamos ver:
  1. (a, 0) + (b, 0) = (a+b, 0) in I.
  2. Para qualquer (m, n) in Z oplus Z, (m, n) cdot (a, 0) = (ma, 0) in I.
Então, I é realmente um ideal.

Passo 4

Agora, vamos ver se I é um ideal primo. Um ideal é primo se, sempre que o produto de dois elementos está no ideal, pelo menos um dos elementos está no ideal. Formalmente, se (a, b) cdot (c, d) in I, então ou (a, b) in I ou (c, d) in I.
Vamos analisar o produto:
(a, b) cdot (c, d) = (ac, bd) in I significa que bd = 0. No conjunto dos inteiros, isso só acontece se b = 0 ou d = 0. Portanto, ou (a, b) in I ou (c, d) in I. Assim, I é um ideal primo.

Passo 5

Agora, vamos verificar se I é um ideal maximal. Um ideal é maximal se não houver nenhum outro ideal que o contenha, exceto o próprio anel. Para que I seja maximal, o quociente (Z oplus Z) / I deve ser um corpo.
Vamos calcular o quociente:
(Z oplus Z) / I cong Z, já que estamos “eliminando” o primeiro componente. Mas Z não é um corpo porque nem todo elemento tem inverso multiplicativo. Portanto, I não é um ideal maximal.

Resposta

Concluímos que I = (a, 0) : a in Z é um ideal primo em Z oplus Z, mas ele não é um ideal maximal.

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