Em
, prove que
é um ideal primo mas não é um ideal maximal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com anéis, especificamente com o anel
, que é basicamente o conjunto de pares de números inteiros. O que precisamos fazer é mostrar que o conjunto
é um ideal primo, mas que ele não é um ideal maximal. Para isso, vamos precisar entender o que são ideais, ideais primos e ideais maximais dentro da teoria dos anéis.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é um ideal. Em um anel, um ideal é um subconjunto que é fechado sob adição e sob multiplicação por qualquer elemento do anel. No nosso caso,
consiste em todos os pares onde o segundo componente é zero.
Passo 3
Agora, para mostrar que
é um ideal, precisamos verificar duas coisas:
- Se
e estão em , então sua soma também está em . - Se multiplicarmos qualquer elemento do anel
por , o resultado ainda estará em .
Vamos ver:
-
. - Para qualquer
, .
Então,
é realmente um ideal.
Passo 4
Agora, vamos ver se
é um ideal primo. Um ideal é primo se, sempre que o produto de dois elementos está no ideal, pelo menos um dos elementos está no ideal. Formalmente, se
, então ou
ou
.
Vamos analisar o produto:
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é um ideal maximal. Um ideal é maximal se não houver nenhum outro ideal que o contenha, exceto o próprio anel. Para que
seja maximal, o quociente
deve ser um corpo.
Vamos calcular o quociente:
Resposta
Concluímos que
é um ideal primo em
, mas ele não é um ideal maximal.
Exercícios relacionados
Considere
e
vetores linearmente independentes em
um vetor também em
.
Se e
(A é uma matriz), então qual a dimensão de
? Explique.
Se
Nos ítens abaixo, o vetor
está escrito na base
. Reescreva-o na base V
(d) ;
(d)
Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
©
©
Seja
. Prove que a função
definida por
(a) Prove que
é um homomorfismo.
(b) Determine .
© Prove que .
(d) é um ideal maximal?
(e) é um ideal primo?
(b) Determine
© Prove que
(d)
(e)