Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
© C(x, y, z)=(z, y, y-z)

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre transformações lineares. Precisamos encontrar o núcleo (ou kernel) e a imagem de uma transformação linear específica. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações e combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo da transformação C(x, y, z) = (z, y, y - z) = (0, 0, 0) . O núcleo é o conjunto de todos os vetores que, quando aplicamos a transformação , resultam no vetor zero . Ou seja, queremos resolver:

Passo 3

Isso nos dá um sistema de equações:
z = 0 y = 0 y - z = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .

Passo 4

Da primeira equação, temos que . Substituindo na segunda equação, encontramos que . A terceira equação verifica-se automaticamente, pois .

Passo 5

Perceba que não aparece em nenhuma das equações. Isso significa que pode ser qualquer número real. Portanto, o núcleo de é formado por todos os vetores onde e , mas é livre.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a imagem da transformação . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor . Ou seja, queremos descrever todos os vetores .

Passo 7

Podemos reescrever (z, y, y - z) = z cdot (1, 0, -1) + y cdot (0, 1, 1) como uma combinação linear dos vetores e :
Isso mostra que qualquer vetor na imagem de é uma combinação desses dois vetores.

Passo 8

Portanto, a imagem de é o subespaço gerado pelos vetores e . Isso significa que a imagem é todo o plano formado por essas duas direções no espaço tridimensional.

Resposta

O núcleo de é o conjunto e a imagem de é o subespaço gerado pelos vetores .

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