Nos ítens abaixo, o vetor w está escrito na base U. Reescreva-o na base V
(d) w=(2,1)U U=(1,0),(1,2), V=(1,1),(1,2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mudança de base! A gente tem um vetor w = (2,1) na base U = (1,0), (1,2) e precisa reescrevê-lo na base V = (1,1), (1,2). Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e resolver um sistema de equações para encontrar as novas coordenadas de w na base V.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o vetor w = (2,1)U. Isso quer dizer que w é uma combinação linear dos vetores da base U com os coeficientes dados. Ou seja:
w = 2 cdot (1,0) + 1 cdot (1,2)

Passo 3

Vamos calcular w na base padrão (base canônica). Multiplicando os escalares pelos vetores da base U:
w = 2 cdot (1,0) + 1 cdot (1,2) = (2,0) + (1,2) = (3,2)
Então, na base padrão, w é o vetor (3,2).

Passo 4

Agora, queremos expressar w = (3,2) na base V = (1,1), (1,2). Vamos chamar as coordenadas de w na base V de (a,b). Isso significa que:
w = a cdot (1,1) + b cdot (1,2)

Passo 5

Vamos montar as equações correspondentes às componentes:
a cdot 1 + b cdot 1 = 3 a cdot 1 + b cdot 2 = 2
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação:
a + b = 3 Rightarrow a = 3 - b
Substituindo na segunda equação:
(3 - b) + 2b = 2 3 + b = 2 b = -1
Então, a = 3 - (-1) = 4.

Resposta

O vetor w na base V é (4, -1)V.

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