Scja f(X)=2+3 X+1 X^2 с g(X)=4+2 X^2. Determine f(X)+g(X) e f(X) cdot g(X) cm Z4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções polinomiais definidas no conjunto dos restos da divisão por 4, ou seja, f(X) = 2 + 3X + 1X^2 . As funções são:
g(X) = 4 + 2X^2
Vamos precisar somar e multiplicar essas funções dentro desse conjunto, lembrando que qualquer número maior ou igual a 4 será reduzido pelo módulo 4.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar g(X) = 0 + 2X^2 = 2X^2 . Sabemos que em é equivalente a , porque 4 dividido por 4 dá resto 0. Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos somar as funções f(X) + g(X) = (2 + 0) + 3X + (1 + 2)X^2 e . A soma de polinômios consiste em somar os coeficientes dos mesmos termos. Então:
Calculando cada parte:
  • Constante:
  • Termo de : (não tem termo correspondente em )
  • Termo de :

Passo 4

Então, a soma f(X) + g(X) = 2 + 3X + 3X^2 fica:

Passo 5

Agora, vamos multiplicar f(X) cdot g(X) = (2 + 3X + 1X^2) cdot 2X^2 por = 2 cdot 2X^2 + 3X cdot 2X^2 + 1X^2 cdot 2X^2 . Para multiplicar polinômios, a gente usa a distributiva, multiplicando cada termo de por cada termo de :
Distribuindo:

Passo 6

Vamos calcular cada termo:
  • . Mas em , então fica .
  • . (porque 6 dividido por 4 dá resto 2), então fica .
  • .

Passo 7

Agora, juntando os termos:
f(X) cdot g(X) = 0X^2 + 2X^3 + 2X^4
Simplificando, removendo o termo com coeficiente zero:
f(X) cdot g(X) = 2X^3 + 2X^4

Resposta

A soma das funções é:
f(X) + g(X) = 2 + 3X + 3X^2
E o produto das funções é:
f(X) cdot g(X) = 2X^3 + 2X^4

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