Uma partícula quântica de massa m move-se sob ação de um potencial unidimensional, que é zero na região |x| e infinito fora dessa região. Como a energia potencial tem paridade definida (função par), as soluções também terão e o espectro de energia não será degenerado.

Passo 1

Ok, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma partícula quântica com massa m que está se movendo em um potencial unidimensional. Esse potencial é zero quando a posição x está no intervalo |x| < L e é infinito fora dessa região. Esse tipo de potencial é conhecido como “caixa de potencial infinita”.
O conteúdo da matéria aqui envolve a mecânica quântica, especificamente a resolução da equação de Schrödinger para uma partícula em uma caixa de potencial. Vamos precisar usar conceitos de funções de onda, condições de fronteira e quantização de energia para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de Schrödinger independente do tempo para essa situação:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 + V(x)psi(x) = Epsi(x)
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida, psi(x) é a função de onda da partícula, V(x) é o potencial, e E é a energia da partícula.

Passo 3

Sabemos que o potencial V(x) é zero dentro da caixa ( |x| < L) e infinito fora dela. Então, dentro da caixa, a equação de Schrödinger simplifica para:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 = Epsi(x)
E fora da caixa, como V(x) = infty, a função de onda psi(x) deve ser zero porque a partícula não pode existir onde o potencial é infinito.

Passo 4

Vamos resolver a equação dentro da caixa. Rearranjando a equação:
d^2 psi(x)dx^2 + 2mEhbar^2 psi(x) = 0
Definimos k^2 = 2mEhbar^2, então a equação fica:
d^2 psi(x)dx^2 + k^2 psi(x) = 0
Essa é a equação diferencial para ondas estacionárias, cujas soluções são combinações de funções seno e cosseno.

Passo 5

Portanto, a solução geral dentro da caixa é:
psi(x) = A cos(kx) + B sin(kx)
Onde A e B são constantes que serão determinadas pelas condições de fronteira.

Passo 6

Aplicamos as condições de fronteira: a função de onda deve ser zero nas fronteiras da caixa, ou seja, em x = -L e x = L.
Primeiro, em x = -L:
psi(-L) = A cos(-kL) + B sin(-kL) = A cos(kL) - B sin(kL) = 0
E em x = L:
psi(L) = A cos(kL) + B sin(kL) = 0

Passo 7

Agora, temos um sistema de equações:
  1. A cos(kL) - B sin(kL) = 0
  2. A cos(kL) + B sin(kL) = 0
Somando as duas equações:
2A cos(kL) = 0 Rightarrow A cos(kL) = 0
Subtraindo as duas equações:
-2B sin(kL) = 0 Rightarrow B sin(kL) = 0

Passo 8

Para que não tenhamos a solução trivial psi(x) = 0, precisamos que o determinante do sistema seja zero, ou seja:
cos(kL) = 0 ou sin(kL) = 0
Isso nos dá as condições para os modos de energia permitidos.

Passo 9

Resolvendo cos(kL) = 0, obtemos:
kL = pi2, 3pi2, 5pi2, dots Rightarrow k = (2n + 1)pi2L, n = 0, 1, 2, dots
Resolvendo sin(kL) = 0, obtemos:
kL = pi, 2pi, 3pi, dots Rightarrow k = npiL, n = 1, 2, 3, dots

Passo 10

Agora, lembrando que k = raiz2mEhbar^2, podemos resolver para a energia E:
En = hbar^2 k^22m
Substituindo os valores de k que encontramos:
Para sin(kL) = 0:
En = hbar^22m ( npiL )^2 = n^2 pi^2 hbar^22mL^2, n = 1, 2, 3, dots

Resposta

As energias permitidas para a partícula são:
En = n^2 pi^2 hbar^22mL^2, n = 1, 2, 3, dots

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