Uma partícula quântica de massa
move-se sob ação de um potencial unidimensional, que é zero na região
e infinito fora dessa região. Como a energia potencial tem paridade definida (função par), as soluções também terão e o espectro de energia não será degenerado.
Passo 1
Ok, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma partícula quântica com massa
que está se movendo em um potencial unidimensional. Esse potencial é zero quando a posição
está no intervalo
e é infinito fora dessa região. Esse tipo de potencial é conhecido como “caixa de potencial infinita”.
O conteúdo da matéria aqui envolve a mecânica quântica, especificamente a resolução da equação de Schrödinger para uma partícula em uma caixa de potencial. Vamos precisar usar conceitos de funções de onda, condições de fronteira e quantização de energia para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de Schrödinger independente do tempo para essa situação:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a função de onda da partícula,
é o potencial, e
é a energia da partícula.
Passo 3
Sabemos que o potencial
é zero dentro da caixa (
) e infinito fora dela. Então, dentro da caixa, a equação de Schrödinger simplifica para:
E fora da caixa, como
, a função de onda
deve ser zero porque a partícula não pode existir onde o potencial é infinito.
Passo 4
Vamos resolver a equação dentro da caixa. Rearranjando a equação:
Definimos
, então a equação fica:
Essa é a equação diferencial para ondas estacionárias, cujas soluções são combinações de funções seno e cosseno.
Passo 5
Portanto, a solução geral dentro da caixa é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições de fronteira.
Passo 6
Aplicamos as condições de fronteira: a função de onda deve ser zero nas fronteiras da caixa, ou seja, em
e
.
Primeiro, em
:
E em
:
Passo 7
Agora, temos um sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Passo 8
Para que não tenhamos a solução trivial
, precisamos que o determinante do sistema seja zero, ou seja:
Isso nos dá as condições para os modos de energia permitidos.
Passo 9
Resolvendo
, obtemos:
Resolvendo
, obtemos:
Passo 10
Agora, lembrando que
, podemos resolver para a energia
:
Substituindo os valores de
que encontramos:
Para
:
Resposta
As energias permitidas para a partícula são:
Exercícios relacionados
Considere o valor médio de um observável A, sendo dado por:
. Mostre que
.
Uma partícula de massa
se desloca no sentido positivo de
. A energia potencial da partícula é nula para
e igual a Uo para
, onde é Uo constante e positiva. Obtenha as expressões para os coeficientes de reflexão e transmissão em função de
e resolva para
e
. Discuta os resultados.
Determine a potência desenvolvida por uma força
que atua sobre uma partícula que se move com velocidade
, onde
e
.
Uma esfera não condutora, com raio de
, possui uma densidade superficial de carga uniforme de
.
(a) Determine a carga total na esfera.
(a) Determine a carga total na esfera.