Obtenha, caso exista, a equação da assíntota vertical para a função g(x) = {x²,x≤4 , x+4,x>4}
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício que pede para encontrar, se existir, a equação da assíntota vertical da função $ g(x) $ definida da seguinte forma:
O conteúdo aqui é sobre assíntotas verticais em funções, que é uma parte da análise de limites em cálculo. Vamos precisar entender como identificar onde essas assíntotas podem existir, analisando o comportamento da função perto dos pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma assíntota vertical. É uma reta vertical que a função se aproxima quando $ x $ se aproxima de um certo valor, mas nunca toca essa reta. Matematicamente, uma assíntota vertical na posição $ x = a $ ocorre se o limite de $ g(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ por cima ou por baixo for infinito, ou seja:
Passo 3
Agora, precisamos identificar onde a função $ g(x) $ pode ter esses comportamentos. Como $ g(x) $ é definida de duas maneiras diferentes, o ponto crítico é onde a definição muda, que é em $ x = 4 $. É nesse ponto que a função pode ter uma descontinuidade, então vamos verificar se aqui existe uma assíntota vertical.
Passo 4
Vamos calcular os limites da função quando $ x $ se aproxima de 4 pela esquerda e pela direita.
Limite pela esquerda ($ x \to 4^- $):
Como para $ x \leq 4 $, $ g(x) = x^2 $, então:
Como para $ x \leq 4 $, $ g(x) = x^2 $, então:
Limite pela direita ($ x \to 4^+ $):
Para $ x > 4 $, $ g(x) = x + 4 $, então:
Para $ x > 4 $, $ g(x) = x + 4 $, então:
Passo 5
Observamos que os limites pela esquerda e pela direita em $ x = 4 $ são finitos e diferentes ($ 16 $ e $ 8 $, respectivamente). Isso significa que existe uma descontinuidade do tipo salto, mas não uma assíntota vertical, que exigiria que pelo menos um desses limites fosse infinito.
Resposta
Não existe assíntota vertical para a função $ g(x) $.