Determine a área da região contida abaixo da parábola y = − x 2 + 4 e acima da parábola y = x 2 .

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar a área da região que está abaixo da parábola $ y = -x^2 + 4 $ e acima da parábola $ y = x^2 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração de funções para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as duas funções que estamos analisando:
  1. Parábola superior: $ y = -x^2 + 4 $
  2. Parábola inferior: $ y = x^2 $
Queremos encontrar a área entre essas duas curvas, ou seja, a região onde a primeira parábola está acima da segunda.

Passo 3

Para saber exatamente onde essas duas parábolas se encontram, precisamos encontrar os pontos de interseção delas. Isso significa resolver a equação:
-x^2 + 4 = x^2

Passo 4

Resolvendo a equação:
-x^2 + 4 = x^2 -2x^2 + 4 = 0 2x^2 = 4 x^2 = 2 x = pm raiz2
Então, as parábolas se intersectam nos pontos $ x = -\sqrt{2} $ e $ x = \sqrt{2} $.

Passo 5

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, podemos calcular a área entre elas integrando a diferença das funções nesses limites. A fórmula para a área $ A $ entre duas curvas $ y = f(x) $ e $ y = g(x) $ de $ a $ a $ b $ é:
A
No nosso caso, $ f(x) = -x^2 + 4 $ (parábola superior) e $ g(x) = x^2 $ (parábola inferior), e os limites de integração são $ a = -\sqrt{2} $ e $ b = \sqrt{2} $.

Passo 6

Substituindo na fórmula:
A = integral-raiz2^raiz2 [(-x^2 + 4) - x^2] , dx A = integral-raiz2^raiz2 (-2x^2 + 4) , dx

Passo 7

Vamos resolver essa integral. Sabemos que a integral de $ -2x^2 $ em relação a $ x $ é $ -\frac{2}{3}x^3 $ e a integral de $ 4 $ em relação a $ x $ é $ 4x $. Então:
-2x^2

Passo 8

Agora, vamos substituir os limites de integração na antiderivada:
Para $ x = \sqrt{2} $:
x = raiz2
Para $ x = -\sqrt{2} $:
-23(raiz2)^3 + 4(raiz2) = -23(2raiz2) + 4raiz2 = -4raiz23 + 4raiz2

Passo 9

Calculando a diferença das expressões:
A = ( -4raiz23 + 4raiz2 ) - ( 4raiz23 - 4raiz2 ) A = -4raiz23 + 4raiz2 - 4raiz23 + 4raiz2 A = ( -8raiz23 + 8raiz2 ) A = 16raiz23

Resposta

A área da região contida abaixo da parábola $ y = -x^2 + 4 $ e acima da parábola $ y = x^2 $ é $ \frac{16\sqrt{2}}{3} $ unidades de área.

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