Determine a área da região contida abaixo da parábola y = − x 2 + 4 e acima da parábola y = x 2 .
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar a área da região que está abaixo da parábola $ y = -x^2 + 4 $ e acima da parábola $ y = x^2 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração de funções para calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as duas funções que estamos analisando:
- Parábola superior: $ y = -x^2 + 4 $
- Parábola inferior: $ y = x^2 $
Queremos encontrar a área entre essas duas curvas, ou seja, a região onde a primeira parábola está acima da segunda.
Passo 3
Para saber exatamente onde essas duas parábolas se encontram, precisamos encontrar os pontos de interseção delas. Isso significa resolver a equação:
Passo 4
Resolvendo a equação:
Então, as parábolas se intersectam nos pontos $ x = -\sqrt{2} $ e $ x = \sqrt{2} $.
Passo 5
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, podemos calcular a área entre elas integrando a diferença das funções nesses limites. A fórmula para a área $ A $ entre duas curvas $ y = f(x) $ e $ y = g(x) $ de $ a $ a $ b $ é:
No nosso caso, $ f(x) = -x^2 + 4 $ (parábola superior) e $ g(x) = x^2 $ (parábola inferior), e os limites de integração são $ a = -\sqrt{2} $ e $ b = \sqrt{2} $.
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Vamos resolver essa integral. Sabemos que a integral de $ -2x^2 $ em relação a $ x $ é $ -\frac{2}{3}x^3 $ e a integral de $ 4 $ em relação a $ x $ é $ 4x $. Então:
Passo 8
Agora, vamos substituir os limites de integração na antiderivada:
Para $ x = \sqrt{2} $:
Para $ x = -\sqrt{2} $:
Passo 9
Calculando a diferença das expressões:
Resposta
A área da região contida abaixo da parábola $ y = -x^2 + 4 $ e acima da parábola $ y = x^2 $ é $ \frac{16\sqrt{2}}{3} $ unidades de área.