Considere a velocidade do projétil na boca da arma como sendo e o ângulo de elevaçào como na figura abaixo. Calcule o deslocamento, a velocidade e o alcance do projétil. (Valur 10 putos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de um projétil lançado pela boca de uma arma. A gente sabe a velocidade inicial do projétil, que é , e o ângulo de elevação com que ele é disparado. Nosso objetivo aqui é calcular três coisas: o deslocamento, a velocidade e o alcance do projétil. Vamos usar conceitos de cinemática e movimento de projéteis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada termo significa:
  • Deslocamento: Refere-se à mudança de posição do projétil em relação ao ponto de partida. Como estamos lidando com movimento inclinadinho, vamos considerar os componentes horizontal ( ) e vertical ( ) do deslocamento.
  • Velocidade: Queremos saber a velocidade do projétil em certos pontos do trajeto. Se for no ponto mais alto ou no impacto, por exemplo.
  • Alcance: É a distância horizontal total que o projétil percorre antes de tocar o chão.

Passo 3

Vamos começar decompondo a velocidade inicial em suas componentes horizontal e vertical. Isso é fundamental para analisar o movimento separadamente em cada direção.
A componente horizontal da velocidade é:
E a componente vertical da velocidade é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o alcance do projétil. O alcance ( ) é a distância horizontal que o projétil percorre até voltar ao ponto de lançamento. A fórmula para o alcance de um projétil é:
onde é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente ).

Passo 5

Para calcular o deslocamento total, precisamos considerar o movimento em ambos os eixos. No eixo horizontal, o deslocamento é igual ao alcance , já que não há aceleração horizontal (desprezando o atrito do ar). No eixo vertical, o deslocamento final será zero, pois o projétil retorna ao mesmo nível de onde foi lançado.
Portanto, o deslocamento total do projétil é o alcance .

Passo 6

Vamos calcular a velocidade no ponto de impacto. A velocidade horizontal ( ) permanece constante durante todo o voo:
A velocidade vertical no impacto é igual em módulo à velocidade vertical inicial, mas com sinal contrário (negativo), já que o projétil está descendo:
Para encontrar a velocidade total no impacto, combinamos as componentes horizontal e vertical usando o teorema de Pitágoras:
Como , então:

Resposta

Então, resumindo:
  • Deslocamento: Igual ao alcance, .
  • Velocidade no impacto: Igual à velocidade inicial, .
  • Alcance do projétil: .

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