Considere a velocidade do projétil na boca da arma como sendo vo e o ângulo de elevaçào como theta na figura abaixo. Calcule o deslocamento, a velocidade e o alcance do projétil. (Valur 10 putos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de um projétil lançado pela boca de uma arma. A gente sabe a velocidade inicial do projétil, que é vo, e o ângulo de elevação theta com que ele é disparado. Nosso objetivo aqui é calcular três coisas: o deslocamento, a velocidade e o alcance do projétil. Vamos usar conceitos de cinemática e movimento de projéteis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada termo significa:
  • Deslocamento: Refere-se à mudança de posição do projétil em relação ao ponto de partida. Como estamos lidando com movimento inclinadinho, vamos considerar os componentes horizontal ( x) e vertical ( y) do deslocamento.
  • Velocidade: Queremos saber a velocidade do projétil em certos pontos do trajeto. Se for no ponto mais alto ou no impacto, por exemplo.
  • Alcance: É a distância horizontal total que o projétil percorre antes de tocar o chão.

Passo 3

Vamos começar decompondo a velocidade inicial vo em suas componentes horizontal e vertical. Isso é fundamental para analisar o movimento separadamente em cada direção.
A componente horizontal da velocidade é:
vx = vo cdot cos(theta)
E a componente vertical da velocidade é:
vy = vo cdot sin(theta)

Passo 4

Agora, vamos calcular o alcance do projétil. O alcance ( R) é a distância horizontal que o projétil percorre até voltar ao ponto de lançamento. A fórmula para o alcance de um projétil é:
R = vo^2 cdot sin(2theta)g
onde g é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente 9,8 , m/s^2).

Passo 5

Para calcular o deslocamento total, precisamos considerar o movimento em ambos os eixos. No eixo horizontal, o deslocamento é igual ao alcance R, já que não há aceleração horizontal (desprezando o atrito do ar). No eixo vertical, o deslocamento final será zero, pois o projétil retorna ao mesmo nível de onde foi lançado.
Portanto, o deslocamento total do projétil é o alcance R.

Passo 6

Vamos calcular a velocidade no ponto de impacto. A velocidade horizontal ( vx) permanece constante durante todo o voo:
vx = vo cdot cos(theta)
A velocidade vertical no impacto é igual em módulo à velocidade vertical inicial, mas com sinal contrário (negativo), já que o projétil está descendo:
vyimpacto = -vo cdot sin(theta)
Para encontrar a velocidade total no impacto, combinamos as componentes horizontal e vertical usando o teorema de Pitágoras:
vimpacto = raizvx^2 + vyimpacto^2
vimpacto = raiz(vo cdot cos(theta))^2 + (-vo cdot sin(theta))^2
vimpacto = vo cdot raizcos^2(theta) + sin^2(theta)
Como cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1, então:
vimpacto = vo

Resposta

Então, resumindo:
  • Deslocamento: Igual ao alcance, R = vo^2 cdot sin(2theta)g.
  • Velocidade no impacto: Igual à velocidade inicial, vimpacto = vo.
  • Alcance do projétil: R = vo^2 cdot sin(2theta)g.

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