Encontre a velocidade v e a posição x-em função de t nos itens (a) e (b) e a velocidade v em função da posiçåo x nos itens © e (d), para uma particula de massa m que parte do repouso em t=0 (x0=0) sujeita às seguintes forças: (Veicr. 2 rho pectost)
c) Fx=Fo e^-c x

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma partícula de massa que parte do repouso, ou seja, sua velocidade inicial é zero, e começa no ponto no tempo . A força que atua nessa partícula é dada por , onde e são constantes. Nosso objetivo aqui é achar a velocidade em função da posição .
Para resolver isso, vamos precisar usar a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração, e também o conceito de trabalho e energia cinética. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a segunda lei de Newton diz que Fx = -dUdx , onde U(x) = -integral Fx dx = -integral F0 e^-c x dx é a força, é a massa e é a aceleração. Mas, como queremos relacionar velocidade e posição, vamos usar outra abordagem: a relação entre força e energia.
A força pode ser relacionada à variação da energia potencial. A energia potencial associada à força é dada por:
Então, podemos integrar para encontrar :

Passo 3

Vamos calcular a integral:
U(x) = -F0 integral e^-c x dx = -F0 ( -1c e^-c x ) + C = F0c e^-c x + C
Como a energia potencial pode ser ajustada por uma constante, podemos definir U(x) = F0c e^-c x para simplificar:

Passo 4

Agora, lembrando que a energia mecânica total é a soma da energia cinética Etotal = K + U = 12 m v^2 + F0c e^-c x e da energia potencial Etotal = 12 m v^2 + F0c e^-c x = F0c :
Como a partícula parte do repouso e do ponto , a energia inicial é toda potencial:

Passo 5

Vamos resolver a equação para encontrar 12 m v^2 + F0c e^-c x = F0c :
12 m v^2 = F0c ( 1 - e^-c x )
Subtraindo v^2 = 2 F0m c ( 1 - e^-c x ) de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por :

Passo 6

Por fim, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar v = raiz 2 F0m c ( 1 - e^-c x ) :

Resposta

A velocidade v = raiz 2 F0m c ( 1 - e^-c x ) em função da posição é:

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