Considere a velocidade do projétil na boca da arma como sendo vo e o ângulo de elevaçảo como theta na figura abaixo. Calcule o deslocamento, a velocidade e o alcance do projétil. (Valur 1.0 ponto)

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede e identificar o que vamos precisar para resolvê-lo. Temos um projétil sendo lançado com uma velocidade inicial vo e um ângulo de elevação theta. Precisamos calcular três coisas:
  1. Deslocamento: a distância vetorial entre o ponto de lançamento e o ponto onde o projétil aterrissa.
  2. Velocidade: a velocidade do projétil em algum ponto específico, geralmente no impacto.
  3. Alcance: a distância horizontal que o projétil percorre até aterrissar.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cinemática de projéteis, que envolvem decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical e aplicar as equações do movimento uniformemente variado.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial vo nas suas componentes horizontal ( vox) e vertical ( voy):
vox = vo cos(theta)
voy = vo sin(theta)
Aqui, usamos as funções trigonométricas cosseno e seno para encontrar essas componentes baseadas no ângulo de elevação theta.

Passo 3

Agora, vamos calcular o tempo total de voo do projétil. O projétil sobe até o ponto mais alto e depois desce até o solo. O tempo para subir é igual ao tempo para descer, então o tempo total de voo T é:
T = 2 voyg = 2 vo sin(theta)g
Onde g é a aceleração devida à gravidade (aproximadamente 9,8 , m/s²²).

Passo 4

Com o tempo total de voo, podemos calcular o alcance horizontal R do projétil, que é a distância que ele percorre na direção horizontal:
R = vox times T = vo cos(theta) times 2 vo sin(theta)g = vo^2 sin(2theta)g
Usamos a identidade trigonométrica sin(2theta) = 2 sin(theta) cos(theta) para simplificar a expressão.

Passo 5

O deslocamento do projétil é o vetor que liga o ponto de lançamento ao ponto de aterrissagem. Como o movimento é simétrico, o deslocamento terá apenas a componente horizontal, que é igual ao alcance R. Portanto:
Deslocamento = R = vo^2 sin(2theta)g

Passo 6

Por fim, vamos determinar a velocidade final do projétil no momento do impacto. A magnitude da velocidade final será igual à velocidade inicial vo, mas a direção será oposta à vertical devido à simetria do movimento vertical. Assim:
vf = vo

Resposta

  • Deslocamento: R = vo^2 sin(2theta)g
  • Velocidade no impacto: vf = vo
  • Alcance: R = vo^2 sin(2theta)g

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