Encontre a velocidade v e a posição x-em função de t nos itens (a) e (b) e a velocidade v em função da posição x nos itens © e (d), para uma particula de massa m que parte do repouso em t=0 ( xo=0 ) sujeita às seguintes forças: (Vekrer 2, rho pertos)
d) Fx=Fo cos c x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula de massa que começa parada no ponto quando . Ela está sendo sujeita a uma força dada por . Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade em função da posição para essa partícula. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Dinâmica, especificamente a Segunda Lei de Newton e Cálculo de Energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
F = m a
Como queremos encontrar a velocidade em função da posição, vamos relacionar força com energia. A força pode ser expressa também como a derivada da energia potencial F(x) = -dUdx :
Dado que , podemos integrar para encontrar .

Passo 3

Vamos integrar a força para encontrar a energia potencial U(x) = -integral Fx , dx = -integral Fo cos(c x) , dx = -Foc sin(c x) + C :
0 = -Foc sin(0) + C Rightarrow C = 0
Como a partícula parte do repouso em U(x) = -Foc sin(c x) , podemos determinar a constante . Quando , :
Então, a energia potencial é:

Passo 4

Agora, vamos usar a conservação da energia mecânica. A energia total E = K + U(x) da partícula é a soma da energia cinética K + U(x) = 0 e da energia potencial K = 12 m v^2 :
12 m v^2 - Foc sin(c x) = 0
Como a partícula parte do repouso, sua energia cinética inicial é zero, e a energia total inicialmente é apenas a energia potencial em , que também é zero. Então, a energia total permanece zero:
A energia cinética é:
Substituindo na equação da energia total:

Passo 5

Vamos resolver para 12 m v^2 = Foc sin(c x) :
v^2 = 2 Fom c sin(c x)
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por v = raiz2 Fom c sin(c x) :
Finalmente, tiramos a raiz quadrada:

Resposta

A velocidade v(x) = raiz2 Fom c sin(c x) em função da posição é:

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