Encontre a velocidade e a posição -em função de nos itens (a) e (b) e a velocidade em função da posição nos itens © e (d), para uma particula de massa que parte do repouso em ( ) sujeita às seguintes forças: (Vekrer
d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula de massa que começa parada no ponto quando . Ela está sendo sujeita a uma força dada por . Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade em função da posição para essa partícula. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Dinâmica, especificamente a Segunda Lei de Newton e Cálculo de Energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
Como queremos encontrar a velocidade em função da posição, vamos relacionar força com energia. A força pode ser expressa também como a derivada da energia potencial :
Dado que , podemos integrar para encontrar .

Passo 3

Vamos integrar a força para encontrar a energia potencial :
Como a partícula parte do repouso em , podemos determinar a constante . Quando , :
Então, a energia potencial é:

Passo 4

Agora, vamos usar a conservação da energia mecânica. A energia total da partícula é a soma da energia cinética e da energia potencial :
Como a partícula parte do repouso, sua energia cinética inicial é zero, e a energia total inicialmente é apenas a energia potencial em , que também é zero. Então, a energia total permanece zero:
A energia cinética é:
Substituindo na equação da energia total:

Passo 5

Vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por :
Finalmente, tiramos a raiz quadrada:

Resposta

A velocidade em função da posição é:

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a)
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c)
Considere a velocidade do projétil na boca da arma como sendo e o ângulo de elevaçảo como na figura abaixo. Calcule o deslocamento, a velocidade e o alcance do projétil. (Valur 1.0 ponto)
A posiçâo de uma particula é dada em coordenadas polares planas e , onde e sâo constantes. Encontre o ângulo, em funçào de , entre o vetor velocidade e o vetor aceleraçalo. (Valer 1,9 pento)