A posiçâo de uma particula é dada em coordenadas polares planas
e
, onde
e
sâo constantes. Encontre o ângulo, em funçào de
, entre o vetor velocidade e o vetor aceleraçalo. (Valer 1,9 pento)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A posição de uma partícula está descrita em coordenadas polares pelas funções
e
, onde
e
são constantes. A gente precisa encontrar o ângulo, em função do tempo
, entre o vetor velocidade e o vetor aceleração da partícula. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática em coordenadas polares, como derivadas de posição para obter velocidade e aceleração, além de entender como calcular o ângulo entre dois vetores usando produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade da partícula. Em coordenadas polares, a velocidade
é dada por:
Onde:
-
é a derivada de em relação ao tempo. -
é a derivada de em relação ao tempo. -
e são os vetores unitários nas direções radial e angular, respectivamente.
Vamos calcular
e
:
Então, o vetor velocidade fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor aceleração
. Em coordenadas polares, a aceleração é dada por:
Onde:
-
é a segunda derivada de . -
é a segunda derivada de .
Calculando as derivadas:
Substituindo na expressão da aceleração:
Passo 4
Para encontrar o ângulo entre os vetores velocidade
e aceleração
, vamos usar a fórmula do produto escalar:
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Agora, calculamos as magnitudes dos vetores
e
:
Passo 5
Substituindo no fórmula do cosseno:
Finalmente, o ângulo
é:
Resposta
O ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração, em função do tempo
, é dado por: