A posiçâo de uma particula é dada em coordenadas polares planas r=b t^2 e phi=omega t, onde b e omega sâo constantes. Encontre o ângulo, em funçào de t, entre o vetor velocidade e o vetor aceleraçalo. (Valer 1,9 pento)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A posição de uma partícula está descrita em coordenadas polares pelas funções e , onde e são constantes. A gente precisa encontrar o ângulo, em função do tempo , entre o vetor velocidade e o vetor aceleração da partícula. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática em coordenadas polares, como derivadas de posição para obter velocidade e aceleração, além de entender como calcular o ângulo entre dois vetores usando produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade da partícula. Em coordenadas polares, a velocidade v = dotr , er + r , dotphi , ephi é dada por:
dotr = ddt(bt^2) = 2b t
Onde:
  • dotphi = ddt(omega t) = omega é a derivada de v = (2b t) , er + (b t^2 omega) , ephi em relação ao tempo.
  • é a derivada de em relação ao tempo.
  • e são os vetores unitários nas direções radial e angular, respectivamente.
Vamos calcular e :
Então, o vetor velocidade fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração a = (ddotr - r , dotphi^2) , er + (r , ddotphi + 2 dotr , dotphi) , ephi . Em coordenadas polares, a aceleração é dada por:
ddotr = ddt(2b t) = 2b
Onde:
  • ddotphi = ddt(omega) = 0 é a segunda derivada de a = (2b - b t^2 omega^2) , er + (0 + 2 cdot 2b t cdot omega) , ephi = (2b - b omega^2 t^2) , er + 4b omega t , ephi .
  • é a segunda derivada de .
Calculando as derivadas:
Substituindo na expressão da aceleração:

Passo 4

Para encontrar o ângulo entre os vetores velocidade cos theta = v cdot a|v| , |a| e aceleração v cdot a = (2b t)(2b - b omega^2 t^2) + (b omega t^2)(4b omega t) = 4b^2 t - 2b^2 omega^2 t^3 + 4b^2 omega^2 t^3 = 4b^2 t + 2b^2 omega^2 t^3 , vamos usar a fórmula do produto escalar:
|v| = raiz(2bt)^2 + (b omega t^2)^2 = b t raiz4 + omega^2 t^2
Primeiro, calculamos o produto escalar |a| = raiz(2b - b omega^2 t^2)^2 + (4b omega t)^2 = b raiz4 + 12 omega^2 t^2 + omega^4 t^4 = b (2 + omega^2 t^2) :
Agora, calculamos as magnitudes dos vetores e :

Passo 5

Substituindo no fórmula do cosseno:
cos theta = 4b^2 t + 2b^2 omega^2 t^3b t raiz4 + omega^2 t^2 cdot b (2 + omega^2 t^2) = 4 t + 2 omega^2 t^3t (2 + omega^2 t^2) raiz4 + omega^2 t^2 = 2 (2 + omega^2 t^2)(2 + omega^2 t^2) raiz4 + omega^2 t^2 = 2raiz4 + omega^2 t^2
Finalmente, o ângulo theta = arccos ( 2raiz4 + omega^2 t^2 ) é:

Resposta

O ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração, em função do tempo theta(t) = arccos ( 2raiz4 + omega^2 t^2 ) , é dado por:

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