A posiçâo de uma particula é dada em coordenadas polares planas e , onde e sâo constantes. Encontre o ângulo, em funçào de , entre o vetor velocidade e o vetor aceleraçalo. (Valer 1,9 pento)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A posição de uma partícula está descrita em coordenadas polares pelas funções e , onde e são constantes. A gente precisa encontrar o ângulo, em função do tempo , entre o vetor velocidade e o vetor aceleração da partícula. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática em coordenadas polares, como derivadas de posição para obter velocidade e aceleração, além de entender como calcular o ângulo entre dois vetores usando produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade da partícula. Em coordenadas polares, a velocidade é dada por:
Onde:
  • é a derivada de em relação ao tempo.
  • é a derivada de em relação ao tempo.
  • e são os vetores unitários nas direções radial e angular, respectivamente.
Vamos calcular e :
Então, o vetor velocidade fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração . Em coordenadas polares, a aceleração é dada por:
Onde:
  • é a segunda derivada de .
  • é a segunda derivada de .
Calculando as derivadas:
Substituindo na expressão da aceleração:

Passo 4

Para encontrar o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração , vamos usar a fórmula do produto escalar:
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Agora, calculamos as magnitudes dos vetores e :

Passo 5

Substituindo no fórmula do cosseno:
Finalmente, o ângulo é:

Resposta

O ângulo entre o vetor velocidade e o vetor aceleração, em função do tempo , é dado por:

Exercícios relacionados

Considere a velocidade do projétil na boca da arma como sendo e o ângulo de elevaçảo como na figura abaixo. Calcule o deslocamento, a velocidade e o alcance do projétil. (Valur 1.0 ponto)
Encontre a velocidade e a posição -em função de nos itens (a) e (b) e a velocidade em função da posição nos itens © e (d), para uma particula de massa que parte do repouso em ( ) sujeita às seguintes forças: (Vekrer
d)
(a) A equação fornece a velocidade de um objeto largado do repouso sujeito a uma resistência do ar linear. No início do movimento, quando é pequeno, a resistência do ar deve ser pouco importante e ela deve concordar com o resultado para un objeto em queda livre no vácuo. Mostre que é esse o caso. (b) A posição do objeto é dada por . Mostre analogamente que, para , esta se reduz ao resultado familiar quando té pequeno. [Sugestão: lembre-se da série de Taylor para quando é pequeno]. (Valor: 1,0 ponto)
A mola de um revólver de brinquedo é comprimida de em relação ao seu comprimento normal, e uma bola de massa é colocado no cano. Qual a velocidade da bola ao sair do cano quando disparada? . Despreze o atrito e considere que o cano está na horizontal.