(a) A equação vy(t)=v lim (1-e^-t / r) fornece a velocidade de um objeto largado do repouso sujeito a uma resistência do ar linear. No início do movimento, quando vy é pequeno, a resistência do ar deve ser pouco importante e ela deve concordar com o resultado vy=g t para un objeto em queda livre no vácuo. Mostre que é esse o caso. (b) A posição do objeto é dada por y(t)=vlim t+ (vy o-vl i m) tau(1-e^-t / r). Mostre analogamente que, para vy o=0, esta se reduz ao resultado familiar y=12 g t^2 quando té pequeno. [Sugestão: lembre-se da série de Taylor para e^x=1+x+ x^22!+x^33!+cdots quando x é pequeno]. (Valor: 1,0 ponto)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. No item (a), temos uma equação que descreve a velocidade de um objeto em queda com resistência do ar: . A ideia é mostrar que, no início do movimento, quando a velocidade é bem pequena, essa equação se comporta como se o objeto estivesse caindo no vácuo, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar a série de Taylor para expandir a função exponencial quando é pequeno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para valores pequenos de e^x approx 1 + x , a série de Taylor para e^-t / r approx 1 - tr é aproximadamente:
Isso significa que, quando é pequeno, pode ser aproximado por:

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na equação da velocidade:
vy(t) = vlim (1 - (1 - tr)) = vlim (tr) = vlimr t

Passo 4

Sabemos que a velocidade em queda livre no vácuo é vlimr = g . Para que as duas expressões sejam iguais, devemos ter:
Isso confirma que, no início do movimento, quando é pequeno, a resistência do ar é desprezível e a velocidade segue , como esperado.

Resposta

Mostramos que, para pequeno, , confirmando que a equação dada se reduz à velocidade no vácuo quando a resistência do ar é insignificante.

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