(a) A equação
fornece a velocidade de um objeto largado do repouso sujeito a uma resistência do ar linear. No início do movimento, quando
é pequeno, a resistência do ar deve ser pouco importante e ela deve concordar com o resultado
para un objeto em queda livre no vácuo. Mostre que é esse o caso. (b) A posição do objeto é dada por
. Mostre analogamente que, para
, esta se reduz ao resultado familiar
quando té pequeno. [Sugestão: lembre-se da série de Taylor para
quando
é pequeno]. (Valor: 1,0 ponto)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. No item (a), temos uma equação que descreve a velocidade de um objeto em queda com resistência do ar:
. A ideia é mostrar que, no início do movimento, quando a velocidade
é bem pequena, essa equação se comporta como se o objeto estivesse caindo no vácuo, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar a série de Taylor para expandir a função exponencial quando
é pequeno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para valores pequenos de
, a série de Taylor para
é aproximadamente:
Isso significa que, quando
é pequeno,
pode ser aproximado por:
Passo 3
Agora, substituímos essa aproximação na equação da velocidade:
Passo 4
Sabemos que a velocidade em queda livre no vácuo é
. Para que as duas expressões sejam iguais, devemos ter:
Isso confirma que, no início do movimento, quando
é pequeno, a resistência do ar é desprezível e a velocidade segue
, como esperado.
Resposta
Mostramos que, para
pequeno,
, confirmando que a equação dada se reduz à velocidade no vácuo quando a resistência do ar é insignificante.