Encontre a velocidade v e a posição x-em função de t nos itens (a) e (b) e a velocidade v em função da posição x nos itens © e (d), para uma particula de massa m que parte do repouso em t=0 ( xo=0 ) sujeita às seguintes forças: (Vekrer 2, rho pertos)
a) Fx=Fo+c t

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde temos que encontrar a velocidade e a posição de uma partícula que parte do repouso em e . A partícula está sujeita à força . Para resolver isso, vamos usar a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração, e depois integrar para achar a velocidade e a posição.

Passo 2

Primeiro, lembrando a segunda lei de Newton: , onde é a força, é a massa e é a aceleração. Aqui, a força aplicada varia com o tempo, então nossa aceleração também será uma função do tempo.

Passo 3

Vamos expressar a aceleração em termos da força fornecida:
a(t) = Fxm = F0 + c tm
Isso nos dá a aceleração da partícula em qualquer instante .

Passo 4

Agora, para encontrar a velocidade v(t) = integral a(t) , dt = integral ( F0m + c tm ) dt , vamos integrar a aceleração em relação ao tempo. A velocidade é a integral da aceleração:
Fazendo a integração:

Passo 5

v(t) = F0m t + c2m t^2 + C
Como a partícula parte do repouso, sabemos que 0 = F0m cdot 0 + c2m cdot 0^2 + C Rightarrow C = 0 . Vamos usar isso para encontrar a constante de integração v(t) = F0m t + c2m t^2 :
Então, a velocidade é:

Passo 6

Agora, para encontrar a posição x(t) = integral v(t) , dt = integral ( F0m t + c2m t^2 ) dt , vamos integrar a velocidade em relação ao tempo. A posição é a integral da velocidade:
Fazendo a integração:

Passo 7

x(t) = F02m t^2 + c6m t^3 + D
Como a partícula parte de 0 = F02m cdot 0^2 + c6m cdot 0^3 + D Rightarrow D = 0 , temos x(t) = F02m t^2 + c6m t^3 . Vamos usar isso para encontrar a constante de integração :
Então, a posição é:

Resposta

A velocidade e a posição da partícula em função do tempo são dadas por:
v(t) = F0m t + c2m t^2
x(t) = F02m t^2 + c6m t^3

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